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时间:2020-07-04
《高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案 新人教A版选修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)[学习目标]1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能根据实际问题特征,正确选择原理解决实际问题.[知识链接]1.火车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有多少种?答 分10步.第1步:考虑第1名乘客下车的所有可能有5种;第2步:考虑第2名乘客下车的所有可能有5种;…第10步:考虑第10名乘客下车的所有可能有5种.故共有乘客下车的可能方式有5×5×5×…×5 ,10个=510(种).2.从1,2,3,4,7,9六个数中,任意两个不同数作对数的底数和真数,则所有不
2、同的对数的值的个数有多少?答 (1)当取的两数中有1时,且1只能为真数,此时不管取哪一个数为底数对数的值都为0.(2)当两数都不取1时,分两步:①取底数,5种;②取真数,4种.其中log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,∴即所有不同的对数的值的个数为1+5×4-4=17.[预习导引]1.两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.2.两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是分类问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件
3、事,分类要做到不重不漏;分步乘法计数原理针对的是分步问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事,分步要做到步骤完整.要点一 两个计数原理在排数中的应用例1 数字不重复的四位偶数共有多少个?解 (1)0在末位时,十、百、千分别有9,8,7种排法,共有9×8×7=504(个).(2)0不在末位时,2,4,6,8中的一个在末位,有4种排法,首位有8种(0除外),其余两位分别有8,7两种排法.∴共有4×8×8×7=1792(个).由(1)(2)知,共有符合题意的偶数为504+1792=2296(个).规律方法 排数问题实际就是分
4、步问题,需要用分步乘法计数原理解决.此题中,由于数字0的出现,又进行了分类讨论,即在解决相关的排数问题时,要注意两个原理的综合应用.跟踪演练1 用0,1,…,9这十个数字,可以组成多少个:(1)三位整数?(2)无重复数字的三位整数?(3)小于500的无重复数字的三位整数?解 由于0不可在最高位,因此应对它进行单独考虑.(1)百位数字有9种选择,十位数字和个位数字都各有10种选择.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有9×10×10=900(个).(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择.
5、由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有9×9×8=648(个).(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有4×9×8=288(个).要点二 抽取(分配)问题例2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )A.16种B.18种C.37种D.48种答案 C解析 法一 (直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种情况;第二类,有两个班级去
6、甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方案共有3×3=9(种);第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有3×3×3=27(种).综上所述,不同的分配方案有1+9+27=37(种).法二 (间接法)先计算3个班自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即:4×4×4-3×3×3=37(种)方案.规律方法 解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用例举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是
7、有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.跟踪演练2 3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?解 法一 (以小球为研究对象)分三步来完成:第一步:放第一个小球有5种选择;第二步:放第二个小球有4种选择;第三步:放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得:共有方法数N=5×4×3=60(种).法二 (以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5;分成以下10类:第一类:空盒子标号为(1,2),选法有3×
8、2×1=6(种);第二类:空盒子标号为(1,3),选法有3×2×1=6(种);第三类:空盒子标号为(1,4),选法有3×2×1=6(种).分类还有以下几种情况:(1
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