高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理（1）学案 新人教A版必修.doc

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1、1．1.2　余弦定理(一)学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一　余弦定理的推导思考1　根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案　当a＝b＝c时，∠C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.思考2　在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcosC能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想

2、吗？答案　abcosC＝

3、

4、

5、

6、cos，＝·.∴a2＋b2－2abcosC＝2＋2－2·＝(－)2＝2＝c2.猜想得证．梳理　余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长．另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．知识点二　余弦定理的呈现形式1．a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.2．cosA＝；cosB＝；cosC＝.知识点三　适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1　观察知识点二第1条中的公式结构，其中等

7、号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案　每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．思考2　观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案　每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．梳理　余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．类型一　余弦定理的证明例1　已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.解　如图，设＝a，＝b，＝c，由＝－，知c＝a－b，则

8、c

9、2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a

10、＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2

11、a

12、

13、b

14、cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC.反思与感悟　所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．跟踪训练1　例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？解　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2

15、＋b2－2abcosC.类型二　用余弦定理解三角形命题角度1　已知两边及其夹角例2　在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm)解　根据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676.78，所以a≈41(cm)．由正弦定理得，sinC＝≈≈0.5440.因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.反思与感悟　已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．跟

16、踪训练2　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.解　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4，所以c＝－.由正弦定理，得sinA＝＝，因为b>a，所以B>A，所以A为锐角，所以A＝30°.命题角度2　已知三边例3　　在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形．(角度精确到1′)解　∵cosA＝＝≈0.5543，∴A≈56°20′.∵cosB＝＝≈0.8398，∴B≈32°53′.∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.反思与感悟　已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cosA＝，co

17、sB＝，cosC＝求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．跟踪训练3　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状．解　因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．c最大，cosC＝<0，所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形．1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边