高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理（2）学案 新人教A版必修.doc

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1、1．1.2　余弦定理(二)学习目标　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一　已知两边及其中一边的对角解三角形思考　在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，可以先用正弦定理＝求出sinC＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？答案　能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cosB，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．梳理　已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，

2、满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sinB＝.(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当ab，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二　判断三角形的形状思考1　

3、三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？答案　不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cosC的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．思考2　△ABC中，sin2A＝sin2B.则A，B一定相等吗？答案　∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.梳理　判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还

4、是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三　证明三角形中的恒等式思考　前面我们用正弦定理化简过acosB＝bcosA，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？答案　由余弦定理得a＝b，去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，化简得a＝b.梳理　证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．类型一　利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例1　已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得72＝82＋c2－2×

5、8×ccos60°，整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.引申探究例1条件不变，用正弦定理求c.解　由正弦定理，得＝＝＝＝，∴sinA＝＝，∴cosA＝±＝±＝±.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝·±·，∴sinC＝或sinC＝.当sinC＝时，c＝·sinC＝5；当sinC＝时，c＝·sinC＝3.反思与感悟　相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．跟踪训练1　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于(

6、　　)A．1B．2C.－1D.答案　B解析　由余弦定理，得cosA＝，∴＝，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．类型二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明　方法一　(1)由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a

7、＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.方法二　(1)由余弦定理，得cosB＝，cosC＝，∴bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＋＝＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.反思与感悟　证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、

8、C的对边，求证：＝.证明　方法一　左边＝＝，右边＝＝，∴等式成立．方法二　右边＝＝＝＝＝左边，∴等式成立．类