高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理学案 新人教b版必修5

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1、1.1.2　余弦定理1．理解用向量的工具推导余弦定理的过程，并能初步运用余弦定理解斜三角形．2．掌握三角形的面积公式．3．能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算有关的三角形问题．1．余弦定理公式表达语言叙述推论a2＝____________三角形任何一边的平方等于_______cosA＝____________b2＝______________cosB＝____________c2＝____________cosC＝__________(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是勾股定

2、理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．【做一做1－1】在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则AC的长为________．【做一做1－2】在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则∠C＝________.2．余弦定理的应用(1)利用余弦定理判断三角形的形状由余弦定理，当边c为最大边时，如果c2＝a2＋b2，则△ABC为____三角形；如果c2＜a2＋b2，则△AB

3、C为____三角形；如果c2＞a2＋b2，则△ABC为____三角形．(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题①已知三边，________；②已知两边和它们的夹角，求______和其他______；③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时，也可用余弦定理，如已知a，b，A，可先用余弦定理__________，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数．使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60°或最小角大于60°，可知三角形无解．【做一做2－1】在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则该三

4、角形的形状为(　　)．A．直角三角形　　　B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【做一做2－2】在△ABC中，已知c＝2acosB，则△ABC的形状为________三角形．3．三角形的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)；(2)S＝absinC＝______＝______；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)；(4)S＝(其中p＝(a＋b＋c))．【做一做3－1】在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则c＝____.【做一做3－2】已知三角形的周长为12，内切圆的半径为1，则S

5、△ABC＝________.一、三角形中的四类基本问题剖析：解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基

6、本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角．二、教材中的“？”在△ABC中，令＝c，＝b，＝a，你能通过计算

7、a

8、2＝a·a证明余弦定理吗？剖析：如图所示，

9、a

10、2＝a·a＝a2＝·＝(－)·(－)＝2－2·＋2＝2－2

11、

12、

13、

14、cosA＋2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝b2＋c2－2bccosA．同理可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2a

15、bcosC．除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决．(1)坐标法：如图所示，以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C的坐标分别为A(0,0)，B(ccosA，csinA)，C(b,0)，根据两点间的距离公式，得a＝

16、BC

17、＝，∴a2＝c2cos2A－2bccosA＋b2＋c2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA．同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．(2)(用正弦定理证明)因为a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以b2＋c2－2