高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词教学案 新人教B版选修.doc

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1、1.1.2 量 词[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.3.知道全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.[知识链接]下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3;(2)2x+1是整数;(3)对所有的x∈R,x>3;(4)至少有一个x∈Z,使2x+1是整数.答:语句(1)、(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,因而不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短

2、语“对所有的”对变量x进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句(3)、(4)是命题.[预习导引]1.全称量词和全称命题(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.即是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题.其形式为“对M中的所有x,p(x)”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).2.存在量词和存在性命题(1)存在量词短语“

3、有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)存在性命题含有存在量词的命题,叫做存在性命题.即是陈述某集合M的有些元素x具有某种性质的命题,那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用符号简记为∃x∈M,q(x).要点一 全称量词与全称命题例1 试判断下列全称命题的真假:(1)∀x∈R,x2+2>0;(2)∀x∈N,x4≥1;(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.解 (1)由于∀x∈R,都有x2≥0,因

4、而有x2+2≥2>0,即x2+2>0,所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.(3)由于∀α∈R,sin2α+cos2α=1成立.所以命题“对任意角α,都有sin2α+cos2α=1”是真命题.规律方法 判断全称命题为真时,要看命题是否对给定集合中的所有元素都成立.判断全称命题为假时,可以用反例进行否定.跟踪演练1 判断下列全称命题的真假:(1)所有的素数是奇数;(2)∀x∈R,x2+1≥1;(3)对每一个无理数x,x

5、2也是无理数.解 (1)2是素数,但2不是奇数.所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.(2)∀x∈R,总有x2≥0,因而x2+1≥1.所以,全称命题“∀x∈R,x2+1≥1”是真命题.(3)是无理数,但()2=2是有理数.所以,全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.要点二 存在量词与存在性命题例2 判断下列命题的真假:(1)∃x∈Z,x3<1;(2)存在一个四边形不是平行四边形;(3)有一个实数α,tanα无意义.(4)∃x∈R,cosx=.解 (1)∵-1∈Z,且(-1)3=-1<1

6、,∴“∃x∈Z,x3<1”是真命题.(2)真命题,如梯形.(3)真命题,当α=时,tanα无意义.(4)∵当x∈R时,cosx∈[-1,1],而>1,∴不存在x∈R,使cosx=,∴原命题是假命题.规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题,判定一个存在性命题为真,只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假:(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数.解 (1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2

7、+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在性命题“有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题.(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以,存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.要点三 全称命题、存在性命题的应用例3 (1)对于任意实数x,不等式sinx+cosx>m恒成立.求实数m的取值范围;(2)存在实数x,不等式sinx+

8、cosx>m有解,求实数m的取值范围.解 (1)令y=sinx+cosx,x∈R,∵y=sinx+cosx=sin(x+)≥-,又∵∀x∈R,sinx+cosx>m恒成立,∴只要m<-即可.∴所求m的取值范围是(-∞,-).(2)令y=sinx+cosx,x∈R,∵y=sinx+cosx=sin(x+)∈[-,].又∵∃x∈R,sinx+cosx>m有解,∴只要m<即可,∴所求m的取值范围是(-∞,).规律方法 

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