课堂新坐标高中数学第1章直线多边形圆1.2.1圆周角定理学案北师大版选修4.doc

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1、§2.圆与直线2.1　圆周角定理1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论.2.会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.[基础·初探]教材整理1　圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的孤的度数的一半.1.△ABC内接于⊙O，且∶∶＝3∶4∶5，则∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________.【解析】　∵∶∶＝3∶4∶5，∴的度数为90°，的度数为120°，的度数为150°，∴∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°.【答案】　60°　75°　

2、45°教材整理2　圆周角定理的两个推论推论1　同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2　半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆.2.如图121，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，＝，则∠DAC的度数是(　　)图121A.30°B.35°C.45°D.70°【解析】　∵∠BAC＝20°，∴的度数为40°，∴的度数为140°.∵＝，∴的度数为70°.∴∠DAC＝35°.【答案】　B3.如图122，A，B，C是⊙O的圆周上三点，若∠BOC＝3

3、∠BOA，则∠CAB是∠ACB的________倍.【导学号：】图122【解析】　∵∠ACB＝∠AOB，∠CAB＝∠BOC，又∵∠BOC＝3∠BOA，∴∠CAB＝3∠ACB.【答案】　3[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]与圆周角定理相关的证明　如图123，已知：△ABC内接于⊙O，D，E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2.图123求证：AB＝AC.【精彩点拨】　证明此题可先添加辅助线，再由圆周角∠1＝∠2得到其所对弧相等.进而

4、构造等弦、等弧的条件.【自主解答】　延长AD，AE，分别交⊙O于F，G，连接BF，CG，∵∠1＝∠2，∴＝，∴BF＝CG，＝，∴∠FBD＝∠GCE.又∵BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，＝，∴AB＝AC.1.解答本题时，添加辅助线，构造等弧是解题的关键.2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.[再练一题]1.如图124，△ABC内接于⊙O，高AD，BE相交于H，AD的延长线交⊙O于F，

5、求证：BF＝BH.图124【证明】　∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AHE＝∠C.∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C，∴∠BHF＝∠F.∴BF＝BH.直径所对的圆周角　如图125，AB是半圆的直径，AC为弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，OD⊥AC于D.求四边形OBCD的面积.图125【精彩点拨】　由AB是半圆的直径知∠C＝90°，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求.【自主解答】　∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，∴可设AC＝4x，BC＝3x.又∵AB＝10，∴16x2＋9x2＝1

6、00，∴x＝2，∴AC＝8cm，BC＝6cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC，∴AD＝4cm，OD＝3cm.∴S四边形OBCD＝S△ABC－S△AOD＝×6×8－×3×4＝24－6＝18(cm2).1.解答本题时利用AC∶BC＝4∶3，得到AC与BC的关系，然后根据勾股定理可求出AC与BC的长度.2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.[再练一题]2.如图126，AB是⊙O的直径，AB＝2cm，点C

7、在圆周上，且∠BAC＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于D.求BD的长.【导学号：】图126【解】　如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠A＝30°，AB＝2cm，∴BC＝＝1(cm).∵∠ABD＝120°，∴∠DBC＝120°－60°＝60°.∵CD⊥BD，∴∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BD＝＝＝0.5(cm).与圆周角定理有关的计算问题　如图127，已知BC为半⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE.图127(1)求证：＝；(2)如果sin∠FBC＝，AB

8、＝4，求AD的长.【精彩点拨】　BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ABC.【自主解答】　(1)证明：如图，连接AC.∵BC是半⊙O的直径，∴∠BAC＝90°又AD⊥BC，垂足为D，∴∠1＝∠3.在△AEB中，AE＝BE，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3，即＝.(2)设DE＝3x，∵AD⊥BC，sin∠FBC＝，∴BE＝5x，BD＝