高中数学第一章直线多边形圆1.2圆与直线1.2.1圆周角定理学案北师大版选修4

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1、1.2．1　圆周角定理课标解读1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论．2．会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.1．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．2．圆周角定理的两个推论推论1　同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2　半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．通过圆周角定理及其推论判断：“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确．【提示】　不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成

2、立的，如图．若AB∥DG，则∠BAC＝∠EDF，但.2．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】　不一定相等．一般有两种情况：相等或互补．弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．与圆周角定理相关的证明　如图1－2－1，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2.图1－2－1求证：AB＝AC.【思路探究】　证明此题可先添加辅助线，再由圆周角∠1＝∠2得到其所对弧相等．进而构造等弦、等弧的条件．【自主解答】　延长AD、AE，分别交⊙O于F、G，连接BF、CG，∵∠1

3、＝∠2，∴＝，∴BF＝CG，＝，∴∠FBC＝∠GCE.又∵BD＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，＝，∴AB＝AC.1．解答本题时利用∠1＝∠2，添加辅助线，构造等弧是解题的关键．2．利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件．如图1－2－2，△ABC内接于⊙O，高AD、BE相交于H，AD的延长线交⊙O于F，求证：BF＝BH.图1－2－2【证明】　∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AHE＝∠C.∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C，∴

4、∠BHF＝∠F.∴BF＝BH.直径所对的圆周角图1－2－3　如图1－2－3所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10cm，OD⊥AC于D.求四边形OBCD的面积．【思路探究】　由AB是半圆的直径知∠C＝90°，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求．【自主解答】　∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，∴可设AC＝4x，BC＝3x.又∵AB＝10，∴16x2＋9x2＝100，∴x＝2，∴AC＝8cm，BC＝6cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC，∴AD＝4cm，OD＝3cm.∴S四边形OBCD＝S△A

5、BC－S△AOD＝×6×8－×3×4＝24－6＝18(cm2)．1．解答本题时利用AC∶BC＝4∶3，得到AC与BC的关系，然后根据勾股定理可求出AC与BC的长度．2．在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．　图1－2－4如图1－2－4，AB是⊙O的直径，AB＝2cm，点C在圆周上，且∠BAC＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于D.求BD的长．【解】　如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠A＝30°，

6、AB＝2cm，∴BC＝＝1(cm)．∵∠ABD＝120°，∴∠DBC＝120°－60°＝60°.∵CD⊥BD，∴∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BD＝＝＝0.5(cm)．与圆周角定理有关的计算问题图1－2－5　已知：如图1－2－5，△ABC内接于⊙O，，点D是上一点，AD交BC于E点，AD＝6cm，BD＝5cm，CD＝3cm，求DE的长．【思路探究】　解答本题可先观察图形，AD，BD，CD及未知边DE，分别在△ABD与△CED中，再证明△ABD∽△CED，利用相似三角形的性质求得DE的长．【自主解答】　∵，∴∠ADB＝∠CDE，又∵，∴∠BA

7、D＝∠ECD，∴△ABD∽△CED，∴＝，即＝，∴DE＝2.5(cm)．1．解答本题时寻找已知和未知的关系，从而确定△ABD与△CED的相似关系，是解答本题的关键．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过比例线段，相似三角形来计算．　图1－2－6(2011·湖南高考)如图1－2－6，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．【解析】　如图，连接CE、AO、AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，B

8、C为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°.故△AOB为等边三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，∴AF＝A