课堂新坐标高中数学第1章直线多边形圆1.3.1圆内接四边形3.2托勒密定理学案北师大版选修4.doc

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1、3.1　圆内接四边形*3.2　托勒密定理1.了解圆内接四边形的概念.2.掌握并灵活运用圆内接四边形的性质定理与判定定理及其推论.[基础·初探]教材整理1　圆内接四边形的性质定理及推论(1)圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角互补.图131如图131，四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)推论图132圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.如图132，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.1.如图133，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于(　　)【导学号：】图133

2、A.120°B.136°C.144°D.150°【解析】　∵∠BCD∶∠ECD＝3∶2，∴∠ECD＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2∠ECD＝144°.【答案】　C2.如图134所示，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝110°，那么∠BCD的度数为________.图134【解析】　∵∠A＝∠BOD＝×110°＝55°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°.【答案】　125°教材整理2　圆内接四边形的判定定理及推论(1)判定定理：如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆.如图135①，若∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD内接于⊙O.(2)推论：如果四

3、边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.如图135②，若∠CBE＝∠D，则四边形ABCD内接于⊙O.图1353.下列说法正确的个数有(　　)①平行四边形内接于圆；②梯形内接于圆；③菱形内接于圆；④矩形内接于圆；⑤正方形内接于圆.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】　根据圆内接四边形的判定定理知，④⑤正确.【答案】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]圆内接四边形的性质　如图136，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取PA＝AC，以PC为直径的圆分别交AB，BC，AC于D

4、，E，F.求证：＝.图136【精彩点拨】　先利用PC是圆的直径，得到PF∥BC，再利用圆内接四边形的性质，得到DF∥PC，最后利用平行线分线段成比例证明结论.【自主解答】　连接DF，PF.∵PC是直径，∴PF⊥AC.∵BC⊥AC，∴PF∥BC，∴＝.∵四边形PCFD内接于⊙O，∴∠ADF＝∠ACP，∵AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP.∴∠ADF＝∠APC.∴DF∥PC，∴＝，∴＝.1.在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等.2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某

5、些等量关系.[再练一题]1.已知四边形ABCD内接于圆，DE∥AC，交BC的延长线于E，求证：AB·CE＝AD·CD.【证明】　如图，连接BD，∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB.∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠E.在△ABD与△CDE中，∵∠ADB＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△ABD∽△CDE.∴＝.故AB·CE＝AD·CD.圆内接四边形的判定　如图137，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.图137求证：E，D，P，F四点共圆.【精彩点拨】　证明本题可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可得出结论

6、.【自主解答】　连接PF，∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF＝AC.∵FC＝AC，∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C.∵E，F，D分别为AB，AC，BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC，∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E，D，P，F四点共圆.1.本题证明的关键是如何使用点E，D，F是中点这一条件.2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明.[再练一题]2.在△ABC中，AB＝AC，延长CA到P，延长AB到Q，使AP＝BQ，连接PQ.求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆.【证明】　如图，连接OA，OC，OP，OQ.在△OCP

7、和△OAQ中，OC＝OA.由已知CA＝AB，AP＝BQ.∴CP＝AQ.又O是△ABC的外心，∴∠OCP＝∠OAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上，∴∠OAC＝∠OAQ，从而∠OCP＝∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ.∴∠CPO＝∠AQO.∴O、A、P、Q四点共圆.圆内接四边形性质与判定的综合运用　如图138，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至