课堂新坐标高中数学第1章直线多边形圆1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化学案北师大版选修4.doc

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1、2.2　点的极坐标与直角坐标的互化1.了解极坐标系与直角坐标系的联系.2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.(易错易混点)3.能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点)[基础·初探]教材整理　极坐标与直角坐标的互化1.互化的前提条件把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图123所示.图1232.互化公式设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式ρ2

2、＝x2＋y2tanθ＝(x≠0)在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角.把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.(1)________；(2)　________；(3)(0,2)　________；(4)　________.【解析】　(1)x＝2cos＝，y＝2sin＝1，∴直角坐标为(，1).(2)ρ＝＝2，tanθ＝，∴θ＝，∴极坐标为.(3)(0,2)在y轴上，∴ρ＝2，θ＝，∴极坐标为.(4)x＝4cos＝2，y＝4sin＝－2.∴直角坐标为(2，－2).【答案】　(1)(，1)　(2)　(3

3、)(4)(2，－2)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]化极坐标为直角坐标　分别把下列点的极坐标化为直角坐标.(1)；(2)；(3).【精彩点拨】　―→―→【自主解答】　(1)∵x＝ρcosθ＝3cos＝0，y＝ρsinθ＝3sin＝3.∴点的极坐标化为直角坐标为(0,3).(2)∵x＝ρcosθ＝4cos＝－2，y＝ρsinθ＝4sin＝2.∴点的极坐标化为直角坐标为(－2,2).(3)∵cos＝＝＝，sin＝＝＝，∴x＝ρcosθ＝4co

4、s＝4cos＝＋，y＝ρsinθ＝4sin＝－4sin＝－.∴点的极坐标化为直角坐标为(＋，－).1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同.2.将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，要求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.[再练一题]1.把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限.(1)；(2)；(3)；(4)(2，－2).【解】　(1)由题

5、意知x＝2cos＝2×＝－1，y＝2sin＝2×＝－.∴点的直角坐标为(－1，－)，是第三象限内的点.(2)x＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，∴点的直角坐标为(－1，)，是第二象限内的点.(3)x＝2cos＝1，y＝2sin＝－，∴点的直角坐标为(1，－)，是第四象限内的点.(4)x＝2cos(－2)＝2cos2，y＝2sin(－2)＝－2sin2.∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos2，－2sin2)，是第三象限内的点.直角坐标化为极坐标　分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).(1)(0,0)；(

6、2)(－1，－1)；(3).【精彩点拨】　【自主解答】　(1)由于直角坐标原点(0,0)与极点重合，所以限定ρ≥0,0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ).(2)∵ρ＝＝＝，tanθ＝＝1，θ∈[0,2π).由于点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝.∴点的直角坐标(－1，－1)化为极坐标为.(3)∵ρ＝＝＝，tanθ＝＝1，θ∈[0,2π).由于点在第一象限，所以θ＝.∴点的直角坐标化为极坐标为.将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝，tanθ＝(x≠0)即可.在[0,2π)范围内，由tanθ＝(x≠0)求θ时

7、，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ，k∈Z即可.[再练一题]2.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0，θ∈R).(1)(－2,2)；(2)(，－).【解】　(1)∵ρ＝＝＝4，tanθ＝＝－，θ∈R，由于点(－2,2)在第二象限，∴θ＝π＋2kπ，k∈Z.∴点(－2,2)化为极坐标为，k∈Z.(2)∵ρ＝＝2，tanθ＝＝－，θ∈R.由于点(，－)在第四象限，所以θ＝π＋2kπ，k∈Z.∴点的直角坐标(，－)化为极坐标为，k∈Z.[探究共研型]互化公式的综合

8、应用探究1　平面直角坐标系中点的坐标与极坐标系下的极坐标是可以互化的，联系它们的纽带是什么？【提示】　任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ＞0，sinθ＝，cosθ＝，则x＝ρcosθ，y＝ρ