浙江版2018版高中数学第四章圆与方程4.14.1.2圆的一般方程学案新人教A版必修.doc

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1、4.1.2　圆的一般方程目标定位　1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.3.体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法，概括其基本步骤.自主预习1.圆的一般方程的定义(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，

2、则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0即时自测1.判断题(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的是一个圆.(×)(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，满足x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(3)给出圆上三个点的坐标时，用一般方程求圆的方程.(√)(4)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4F＞0.(√)提示　(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表

3、示任何几何图形，当D2＋E2－4F＞0时，表示以点为圆心，半径为的圆.2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)A.(2，3)B.(－2，3)C.(－2，－3)D.(2，－3)解析　－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).答案　D3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)A.以(a，b)为圆心的圆B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(－a，－b)解析　原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b).答案　D4.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.解析　因(x＋1)2＋(y－2

4、)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝.答案　类型一　圆的一般方程的概念【例1】下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项.∴它不能表示圆.(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆.(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，∴它表示以为圆心，为半径长

5、的圆.规律方法　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.【训练1】如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.解析　由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<.答案　类型二　求圆的一般方程【例2】已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解　法一　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，∵A，B，C在圆上，∴∴∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－2

6、3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二　设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，∴解得即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.法三　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝

7、BC

8、＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.规律方法

9、　应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.【训练2】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程.解　设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋