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《高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程学案含解析新人教A版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4．1.2 圆的一般方程[提出问题]已知圆心(2,3)，半径为2.问题1：写出圆的标准方程．提示：(x－2)2＋(y－3)2＝4.问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.问题3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？提示：配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆．问题4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？提示：不一定．[导入新知]1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2
2、．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为.[化解疑难]1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：(1)x2，y2的系数相等且不为0；(2)没有xy项．2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点D2＋E2－4F>0表示以为圆心，以为半径的圆圆的一般方程的概念辨析[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求
3、：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，故m的取值范围为.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.[类题通法]形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆；(2)将方
4、程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．[活学活用]下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，∴方程不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表
5、示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，∴方程表示圆，它的圆心为，半径r＝＝
6、a
7、.圆的一般方程的求法[例2] 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解] 法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴∴∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－
8、1)，外接圆半径为5.法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝
9、BC
10、＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.[类题通法]应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，
11、F.[活学活用] 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.∵圆与x＋3y－26＝0相切，∴·＝－1，即E－3D－36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0.③联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.代入法求轨迹方程[例3] 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹
12、方程．[解] 以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．∴①∵
13、AD
14、＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(
