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《2017-2018学年高中数学第四章圆与方程412圆的一般方程学案（含解析）新人教a版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.1.2圆的一般方程Uj层析教材，新知无师自通［提出问题］已知圆心(2,3),半径为2.问题1：写出圆的标准方程.提示：匕一2)'+(y—3)'=4.问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示：可以，x+y—6y+9=0.问题3：方程x+y—4y—6y+13=0是否表示圆？提示：配方化为(x—2)2+(y—3尸=0,不表示圆.问题4：方程x+yDx+Ey+F=0—定表示圆吗？提示：不一定.［导入新知］1.圆的一般方程的概念当4Q0时,二元二次方程x+y+Dx+Ey+F=^叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=^^+F—4Q0)
2、表示的圆的圆心为(一彳，-曲,半径长为*QIM—4F.［化解疑难］1.圆的--般方程体现了圆的方程形式上的特点：(1)*,#的系数相等且不为°；⑵没有"项.2.对力•程%+y+Dx+Ey+F=0的说明:方程条件图形x+y+Dx+Ey+F=0乃+尸一4尺0不表示任何图形〃+用一4尸=0表示个点(2，2)/+F-4Q0表示以(2，2^为圆心，以,〃+方4戶为半径的圆mni■圆的一般方程的概念辨析锁定考向，考题千变不离其宗［例1］若方程x+y+2mx—2y+m+^m=0表示圆，求：(1)实数/〃的取值范围；(2)圆心坐标和半径.［解］(1)据题意知"+F—4尸=(2/77)3+(―2)2
3、—4(//+5刃)>0,即Ad+4—4屏一20/〃>0,解得加O故刃的取值范围为(一8,(1)将方程x+y+2mx—2y+ni+5刃=0写成标准方程为(x+刃)?+(y—1)2=1—5/7/,故圆心坐标为(一刃,1),半径r=yj1—5/n.［类题通法］形如x+y+Dx+Ey+F=^的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(Drti圆的一般方程的定义令〃+尸一4/〉0,成立则表示圆，否则不表示圆；(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是/+#+%+妙+尸=0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.［活学活用］下列方程各
4、表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径.(1)/+#+卄1=0；(2)/+b+2$*+$2=0($H0)；(3)2x+2_/+2日x—2日y=0(日HO).解：(l)Tgl,E=Q,尸=1,・・・〃+号一4尸=1一4=一3<0,・••方程不表示任何图形.(2)・.・g2自，E=Q,F=a,・・・〃+片一4尸=4扌一4/=0,方程表示点(一日,0)•(2)两边同除以2,得x+y+ax—ay=0,D=a,E=_a,F=Q,・・.〃+厅一4尸=2/>0,・•・方程表示圆，它的圆心为半径厂=扣护+才_4尸=平
5、引.圆的一般方程的求法［例2］已知的三个顶点为弭(1,4),〃(一2,3),C(
6、4,-5),求的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.［解］法一：设的外接圆方程为x+y+Dx+Ey+F=O,VJ,B,C在圆上，j+16+〃+4Z?+F=0,・・・{4+9—2〃+3/+尸=0,16+25+4〃一5尸+尸=0,K_2,.•.7、〃Q
8、=5.・
9、：外接圆方程为(X—1)'+(y+1)'=25.［类题通法］应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般釆用圆的标准方程，再用待定系数法求出臼，方，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数〃，E,F.［活学活用］求经过点水一2,-4)且与直线卄3y-26=0相切于点〃(&6)的圆的方程.解：设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=O,则圆心坐标为(一彳，一・・•圆与x+3y—26=0相切，即〃一3〃一36=0.①V(-2,一4),(&6)在圆上，・・・2
10、〃+4£'—尸一20=0,②8〃+6/+厂+100=0.③联立①②③，解得〃=—11,E=3,30,故所求圆的方程为#+llx+3y—30=代入法求轨迹方程［例3］已知比的边〃〃长为4,若兀边上的屮线为定长3,求顶点C的轨迹方程.［解］以直线为x轴显〃的垂直平分线为y轴建立坐标系(如图)，则力(一2,0),〃(2,0),设CU,0,比中点〃(心，必)・「2+/丁=丸,0+y•?IAD=3,・•・(从+2尸+并=9.②将①代入②，整理得(x+6)2+#=36.•・•点
