2017-2018学年高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程学业分层测评（含解析）新人教a版必修2

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1、4.1.2圆的一般方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在【解析】方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．【答案】A2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是()A．D＝E＝0，F≠0B．D＝F＝0，E≠0C．D＝E≠0，F≠0D．D＝E≠0，F＝0【解析】∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0.【答案】

2、D3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是()A.πB.πC．3πD．不存在【解析】所给圆的半径为r＝＝.所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是π.【答案】B4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为()A．－2或2B.或C．2或0D．－2或0【解析】把圆x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则＝，解得a＝2，或a＝0.故选C.【答案】C5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3

3、,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为()A．x2＋y2＝25(y≠0)B．x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)D．(x－2)2＋y2＝25【解析】线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为AB＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．【答案】C二、填空题6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.【解析】由题意可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入

4、直线方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2.【答案】－27．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．【解析】设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得所以点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，化简得2＋2＝，即为点Q的轨迹方程．【答案】2＋2＝三、解答题8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程.【解】圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①又r

5、＝＝，所以D2＋E2＝20，②由①②可得或又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，所以所以圆的一般方程为：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.9．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．【解】设动点P的坐标为(x，y)，根据题意可知AP⊥OP.当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)，此时x＝1；当x＝0时，y＝0；当x≠0，且x≠1时，有kAP·kOP＝－1，∵kAP＝，kOP＝，∴·＝－1，即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式．综上所述，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．[

6、能力提升]10．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π【解析】设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由PA＝2PB，知＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.【答案】B11．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．【解】(1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋

7、(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组即2a＋b＝2.∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．