2、间上是减函数.二、单调性的有关结论1．若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)函数；2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调相同，则f[g(x)]为，若f(x),g(x)的单调性相反，则f[g(x)]为.5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.典型例题例1.已知函数f(x)=ax+(a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x1,x2∈(
3、-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,＞1且＞0,∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,∴＞0,于是f(x2)-f(x1)=+＞0,故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二f(x)=ax+1-(a＞1),求导数得=axlna+,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0,＞0,＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法三∵a＞1,∴y=ax为增函数，又y=，在（-1，+∞）上也是增函数.∴y=ax+在（-1，+∞）上为增函数.变式训练1：讨论函数f（x）=x+
4、（a＞0）的单调性.解：方法一显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x1＞x2＞0,则f(x1)-f(x2)=（x1+）-（x2+）=(x1-x2)·（1-）.∴当0＜x2＜x1≤时，＞1,则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，］上是减函数.当x1＞x2≥时，0＜＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，∴f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；f（x）分别在
5、［-，0）、（0，］上为减函数.方法二由=1-=0可得x=±当x＞或x＜-时，＞0∴f（x）分别在（，+∞）、（-∞，-］上是增函数.同理0＜x＜或-＜x＜0时，＜0即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.例2.判断函数f(x)=在定义域上的单调性.解：函数的定义域为{x
6、x≤-1或x≥1},则f(x)=,可分解成两个简单函数.f(x)==x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数，∴f(x)=在（-∞,-1
7、］上为减函数.变式训练2：求函数y=（4x-x2）的单调区间.解：由4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.又y=t在（0，+∞）上是减函数，∴函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).例3.求下列函数的最值与值域：（1）y=4-;(2)y=x+;(3)y=.解：（1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2
8、.∴t∈［0，4］，∈［0，2］，从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］.(2)方法一函数y=x+是定义域为{x
9、x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.方法二任取x1,x2,且x1＜x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x≤-2或x≥2时，
10、f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.（3）将函数式变形为y=,可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、
