2012年高考数学二轮限时训练 集合、常用逻辑用语、推理与证明5 理.doc

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1、第一部分：集合、常用逻辑用语、推理证明（5）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解析】　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．【答案

2、】　D2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确(k∈N*)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确(k∈N*)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确(k∈N*)D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)【解析】　因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1正确．【答案】　B3．某个命题与自然

3、数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立【解析】　因为当n＝k时，命题成立可推出n＝k＋1时成立，所以n＝5时命题不成立，则n＝4时命题也一定不成立．【答案】　C4．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)A．1＋3＋

4、5＋…＋(2k＋1)＝k2B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2【解析】　∵n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.故选B.【答案】　B5．(2012年唐山一模)已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为(　　)A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在

5、这样的a、b、c【解析】　∵等式对一切n∈N*均成立，-3-用心爱心专心∴n＝1,2,3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝.【答案】　A二、填空题6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．【解析】　∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.【答案】　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)27．如

6、图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形中共有________个顶点．【解析】　当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，故第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，∴第n－2个图形共有顶点n(n＋1)个．【答案】　n(n＋1)8．下面三个判断中，正确的是________．①f(n)＝1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时，f

7、(n)＝1；②f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，当n＝1时，f(n)＝1＋＋；③f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋.【解析】　①中n＝1时，f(n)＝f(1)＝1＋k不一定等于1，故①不正确；②中n＝1时，f(1)＝1＋＋，故②正确；③中f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，故③不正确．【答案】　②三、解答题9．(2011年平顶山模拟)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝sin(an)(n∈N*)．证明：0＜an＜an＋1＜1.-3-用心爱心专心【证明】　①n＝1时，a1＝，a2

8、＝sin(a1)＝sin＝.∴0＜a1＜a2＜1，故结论成立．②假设n＝k时结论成立，即0＜ak＜ak＋1＜1，则0＜ak＜ak＋1＜.∴0＜sin(ak)＜sin(ak＋1)＜1，即0＜ak＋1＜ak＋2＜1，也就是说n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，对一切n∈N*均有0＜an＜an＋1＜1.10．数列{an}满足an＞0，Sn＝(an＋)，求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明．【解析】　∵an＞0，∴Sn＞0，由