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时间:2020-06-29
《【备战】2012高考数学 应考能力大提升4.2.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、备战2012数学应考能力大提升典型例题例1求下列函数的导数:(1)y=x5-x3+3x2+;(2)y=(3x3-4x)(2x+1);(3)y=.解:(1)y′=(x5)′-(x3)′+(3x2)′+()′=x4-4x2+6x.(2)法一:∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,∴y′=24x3+9x2-16x-4.法二:y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.(3)y′===.例2设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的
2、切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解:(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f′(x)=a+,于是故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+,知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-);令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x
3、0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为
4、-
5、
6、2x0
7、=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,此-3-用心爱心专心定值为6.创新题型1.设函数,(1)证明:的导数;(2)若对所有x≥0都有,求a的取值范围.2.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围的三角形的面积为定值,并求出
8、此定值.参考答案②,故在该区间为减函数,所以,则即与题意矛盾2.【解析】(1)f′(x)=a-.于是解得或-3-用心爱心专心∵a,b∈Z,∴f(x)=x+.(2)证明:已知函数y1=x,y2=都是奇函数,∴函数g(x)=x+也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.而f(x)=x+=(x-1)++1,可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位,再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明:在曲线上任取一点,由f′(x0)=1-,知过此点的切线方程为y-=(x-x0).令x=1,得y=,∴切
9、线与直线x=1交点为.令y=x,得x=2x0-1,∴切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围的三角形的面积为·
10、2x0-1-1
11、=·
12、2x0-2
13、=2.∴所围的三角形的面积为定值2.-3-用心爱心专心
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