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1、2011高考数学二轮专题天天练:第1课时变化率与导数、导数的计算(导数及其应用)1.已知函数f(x)=sinx+lnx,则f′(1)的值为( )A.1-cos1B.1+cos1C.cos1-1D.-1-cos1解析:选B.因为f′(x)=cosx+,则f′(1)=cos1+1.2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是( )[来源:学。科。网]A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末解析:选D.∵s=t3-t2+2t,∴v=s′(t)=t2-3t+2,令
2、v=0得,t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.3.下列求导数运算正确的是( )A.(x+)′=1+B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=-2xsinx解析:选B.(x+)′=1-,A错;(3x)′=3xln3,C错;(x2cosx)′=2xcosx-x2sinx,D错;故选B.4.已知二次函数f(x)的图象如图所示,则其导函数f′(x)的图象大致形状是( )[来源:学。科。网Z。X。X。K]用心爱心专心[来源:学&科&网]解析:选B.设二次函数为y=ax2+b(a<
3、0,b>0),则y′=2ax,又∵a<0,故选B.5.曲线y=x3+x2在点T(1,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.B.C.D.解析:选D.易知点T为切点,由f′(1)=2,故切线方程为:y=2x-,其在两坐标轴的截距分别为,-,故直线与两坐标轴围成的三角形面积S=××
4、-
5、=.[来源:学科网ZXXK]6.(2009年高考安徽卷)设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈[0,],则导数f′(1)的取值范围是( )A.[-2,2]B.[,]C.[,2]D.[,2]解析:选D.∵f′(x)=
6、sinθ·x2+cosθ·x,∴f′(1)=sinθ+cosθ=2sin(θ+).∵θ∈[0,],∴θ+∈[,].∴sin(θ+)∈[,1].用心爱心专心∴2sin(θ+)∈[,2].7.已知曲线C:y=lnx-4x与直线x=1交于一点P,那么曲线C在点P处的切线方程是________.解析:由题可解得P(1,-4),则由y′=-4可得曲线C在P处的切线斜率为k=y′
7、x=1=-3,故切线方程为y-(-4)=-3(x-1)即3x+y+1=0.答案:3x+y+1=08.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))
8、处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)=________.解析:由已知切点在切线上,所以f(1)=+2=,切点处的导数为切线的斜率,所以f′(1)=,所以f(1)+f′(1)=3.答案:39.下列图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)=________.[来源:学&科&网Z&X&X&K]解析:∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图象开口向上.又∵a≠0,其图象必为第三张图.由图象特征知f′(0)=0,
9、且-a>0,∴a=-1.[来源:Z*xx*k.Com]故f(-1)=--1+1=-.答案:-用心爱心专心10.求下列函数的导数:[来源:学科网](1)y=(1-)(1+);(2)y=;(3)y=tanx.解:(1)∵y=(1-)(1+)=-=x--x,[来源:Zxxk.Com]∴y′=(x-)′-(x)′=-x--x-.(2)y′=()′===.(3)y′=()′===.11.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(
10、2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.解:(1)由f(x)=x3-3x得,f′(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0,∴所求直线方程为y=-2;[来源:学+科+网](2)设过P(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f′(x0)=3x02-3.[来源:学科网ZXXK]又直线过(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示为=,又=3x02-3,即x03-3x0+2=3(x02-1)·(x0-1),解得x0=1(舍)或x0=-,故所求直线的
11、斜率为k=3×(-1)=-,∴y-(-2)=-(x-1),即9x+4y-1=0.用心爱心专心12.(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解:
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