高考数学复习点拨 抓本质求解几何概率.doc

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1、抓本质求解几何概率有一类几何概率问题与几何知识紧密联系，挖掘出题目的几何性质，结合图象利用数形结合思想，可使这类问题巧妙的解决。试剖析两类。一、挖掘满足题意的不等式例1、将一长为18cm的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一三角形的概率是多少？解：假设x与y表示三个长度中的两个，因为是长度，所以应有：x>0,y>0.和x＋y<18.,即：表示图象在以（0，18），（0，0）和（18，0）为顶点的三角形内，即所有x和y必须在如下图的三角形内。要形成三角形，由构成三角形的条件知，x和y都小于9，且x＋y>9.又因为阴影部分的面积占形成三角形面积的，故能形成三角形的概率

2、是25％点评：本题根据能形成三角形的条件，列出不等式，画出图象利用公式求解。由题意列出不等式是求解本题的关键。例2、（相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午4：OO到5：O0之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟。若另一人仍不到则离去。试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内。解：设x和y为下午4：O0以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（x，y）来表示,这里O＜x＜60，0＜y<60，基本事件组所对应的几何区域即为边长

3、为60的正方形区域（如图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的问隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式｜x-y｜15（例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只须注意到x-y＝－14，即给出

4、x-y

5、＝14，不等式满足），而基本事件组所对应的几何区域中｜x-y｜15的图形构成事件r发生的区域，事件r的阴影部分和R的区域如图所示。因此用心爱心专心p（r）＝评析：解决这类问题的关键是抽象出满足题意的不等式。然后准确画出图象求解。一、挖几何特征求解概率例3、在半径为1的园内随机地取一条弦，问其长超过该园内接等边三角形的边长的概率等于多少？

6、解：任何弦交圆周二点，不失一般性，先固定其中一点于圆周上，以此点为顶点作一等边三角形▲ACD，显然只有落入此三角形内的弦才满足要求（如弦长AE），这种弦的另亠端跑过的弧长为整个圆周的1/3（即都落在弧上），故所求概率等于1/3。（见图1）图（1）图（2）引申：在半径为1的园内一条直径上任意过一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率。解：记事件A={弦长超过圆内接等边三角形边长},如图不妨在等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时就是边长，弦长大于

7、CD

8、的长的充要条件是圆心O到弦的距离小于

9、OF

10、,由几何概率公

11、式p（A）=。（见图2）评析：以上两例中，都是在圆内任意作弦使得弦长超过圆内接等边三角形的边长，但由于“等可能”用心爱心专心的含义不同，得到的概率也不一样，例3中，把弦的另一端点落在圆上任意一点的事件看作是等可能事件，而引申题中，把弦的中点落在于它垂直的直径上的任意一点看作等可能事件；得到的概率各不相同，因而在解决几何概型问题时，必须找准观察角度，明确随机取数的含义，判断好基本事件的等可能性。用心爱心专心