高考数学复习点拨 立体几何重要题型及求解方法

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1、立体几何重要题型及求解方法1．空间几何体的画法例1用斜二测法画一个水平放置的平面图形直观图为图1的一个正方形，则原来的图形是（）解析:按斜二测法作图法则，对四个选项逐一验证．（A）正确．评析：本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．2．表面积的计算例2一个四面体的所有的棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解法一：如图2，设四面体为，其棱长均为，为其外接球的球心，球半径为为在面上的射影，为的中点，则，，，，由，得，解得．，故选（Ａ）．解法二：注意到选项的特殊性

2、，此时球的半径．而当时，如图2又知为钝角，则，矛盾，故，从而排除（Ｂ），（Ｃ），（Ｄ），故选（Ａ）．解法三：注意到的特殊性，构造棱长为1的正方体，如图3（其实不必画图），则是棱长为的正四面体，正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为，故，选（Ａ）．探究：解法一是运用方程的思想求球的半径，小题大做．解法二观察题目特点，利用排除法是最优解法．解法三是割补法，将正四面体补成一个正方体，这种割补思想解决问题值得我们学习．3．体积的计算由于体积的计算既需要同学们扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法，

3、因此也是高考的重要题型，其中又以锥体的体积和不规则几何体的体积计算为主，因为锥体的体积计算往往需要转换顶点和底面，而不规则几何体的体积计算则常常需要用到分割或补形的方法．例3　如图4，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．分析：本题中的多面体是一个不规则的几何体，因此可考虑对其进行分割或补形．解法一：如图5，分别过作的垂线，垂足分别为，连结，容易求得，，，．解法二：如图6，将该多面体补成一个斜三棱柱（侧棱与底面不垂直的棱柱），则．探究：本题中所

4、用的两种方法就是求不规则几何体体积的两种基本方法，方法一是对不规则几何体进行分割，分割后每一部分都成为规则几何体，套用公式求出体积后相加就是所求不规则几何体的体积；方法二则是在原不规则几何体的基础上补上一个几何体，使之成为规则几何体，求出体积后再减去补上的几何体的体积即得所求几何体体积，两种解法都体现了转化的思想方法．4．线面位置关系的判断线面位置关系的判断是立体几何的基本知识与基本技能，因而是高考的必考内容之一，一般出现在选择、填空题中，常常与命题等有关问题融合在一起进行考查．例4给出下列关于互不重合的

5、直线和平面的四个命题：　①，点，则与不共面；②是异面直线，，且，，则；③若，，则；④若，则，其中为假命题的是（　　）Ａ．①Ｂ．②Ｃ．③Ｄ．④解析：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，命题③中当时，直线与可以平行，也可以相交或异面，因此该命题是错误的，故选（Ｃ）．探究：这种题型的解法通常是紧扣定义，利用基本定理或反证法进行推理，有时可借助常用的模型进行判断．要求概念明确，关系清楚，基本运算熟练，还要特别注意与平面几何中有关结论的区别，防止负迁移．5．图形的展开与折叠问题图形的展开与折叠

6、问题主要考查同学们的空间想象能力，它最能体现出立体几何的特点，通过图形的展开与折叠问题，考查最值问题，范围问题，空间角与距离的求解，位置关系的判断等都是高考的重要题型．例5　如图7，在直三棱柱中，，，分别为的中点，沿棱柱的表面从到，两点间的最短路径的长度为　　　　．分析：这是一个求沿几何体表面最短路径的问题，通常采用将几何体表面展开化为平面问题的方法处理，本题中由于是一个棱柱，将其表面展开的方法有多种，因此，应采取分类讨论的方法将每一种情形分别求出，再进行比较，从而得出结论．解：将三棱柱侧面、底面展开有以

7、下三种情形（如图8）．在（1）中，；在（2）；在（3）中，．通过比较知第（3）种情况，即从沿平面过棱到点路径最短．探究：解决有关展开与折叠的问题，关键是搞清展开与折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有变，一般说来，折痕同侧的点，折叠前后其相对位置不变，而折叠两侧的点，折叠前后其相对位置要发生变化．