幂函数课件（人教版A必修一）.ppt

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1、2.3幂函数(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=______w元(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=____(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=______________是____的函数a²a³V是a的函数t⁻¹km/sv是t的函数(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长_________a是S的函数以上问题中的函数具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1____是____的

2、函数Sa以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1一般地，函数叫做幂函数(powerfunction)，其中x为自变量，　为常数。定义：例1下列函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y=（2）y=2x2（3）y=2x（4）y=1(5)y=x2+2(6)y=-x3答案:(1)问题:你能说出幂函数与指数函数的区别吗?指数函数：解析式，底数为常数a，a

3、>0，a≠1，指数为自变量x；幂函数：解析式，底数为自变量x，指数为常数α，α∈R；下面研究幂函数在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。研究y=xx-3-2-10123y=x-3-2-10123x-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3在第一象限内,函数图象的单调性与指数有什么关系?不管指数是多少,图象都经过哪个定点?图象都经过点（1

4、，1）y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x

5、x≠0}［0,+∞）RR{y

6、y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上减,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上减例3如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。解:依题意,得解方程,得m=2或m=-1检验:当m=2时,函数为符合题意.当m=-1时,函数为不合题意,舍去.所以m=2《讲义》2

7、、7例4.利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3(3)解:(1)y=x0.8在(0,+∞)内是增函数,∵5.2<5.3　∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数∵2.5<2.7∴2.5-2/5>2.7-2/5练习1）2）3）4）＜＜＞≤《讲义》8练习:如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________一般地

8、，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。C4C2C3C11证明幂函数在［0，+∞）上是增函数.复习用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设x1,x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;(2).作差f(x1)－f(x2)，变形;(3).判断f(x1)－f(x2)的符号；(4).下结论.例5证明:任取所以幂函数在［0，+∞）上是增函数.证法二:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1

9、(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。即所以幂函数定义五个特殊幂函数图象基本性质本节知识结构:课堂小结：根据幂函数图象的特征，待定解析式，利用图象解决问题．考点二幂函数的图象及应用例2【思路点拨】用待定系数法求解析式；结合图形解决x的取值问题．(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示．由图象可知：①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1

10、数解析式的步骤：①设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；②根据已知条件求出α的值；③写出幂函数的解析式．解：(1)g(x)＝x－1.(2)分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x＝1时