【学霸优课】2020数学(理科)一轮对点训练 2.4.1 二次函数 含解析.doc

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1、1.如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为(  )A.16B.18C.25D.答案 B解析 由已知得f′(x)=(m-2)x+n-8,又对任意的x∈,f′(x)≤0,所以,即,画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,令mn=t,则当n=0时,t=0,当n≠0时,m=.由线性规划的相关知识知,只有当直线2m+n=12与曲线m=相切时,t取得最大值.由,解得n=6,t=18,所以(mn)max=18,选B.2.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则(  )A.a>0

2、,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0答案 A解析 由f(0)=f(4)得f(x)=ax2+bx+c的对称轴为x=-=2,∴4a+b=0,又f(0)>f(1),∴f(x)先减后增,∴a>0,选A.3.两个二次函数f(x)=ax2+bx+c与g(x)=bx2+ax+c的图象可能是(  )答案 D解析 函数f(x)图象的对称轴为x=-,函数g(x)图象的对称轴为x=-,显然-与-同号,故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧,只有D满足.故选D.4.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间上是减函数,则a的取值范围是________.答

3、案 (-∞,2]解析 f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x∈,则t∈,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知y=-2t2+at+1在上是减函数,结合抛物线图象可知,≤,所以a≤2.5.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,则a的值为________.答案 2或-1解析 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,在x∈[0,1]时,当a≥1时,f(x)max=f(1)=a;当0

4、条件得,或或解得a=2或a=-1.6.对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使

5、2a+b

6、最大时,-+的最小值为________.答案 -2解析 设2a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有解.故Δ=9t2-24(t2-c)≥0,所以t2≤c,所以

7、t

8、max=,此时c=t2,b=t,2a=t-b=,所以a=.故-+=-+=8=82-2≥-2.7.已知函数f(x)=

9、x2+3x

10、,x∈R.若方程f(x)-a

11、x-1

12、=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为____

13、____.答案 (0,1)∪(9,+∞)解析 在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=a

14、x-1

15、的图象,由图知,当a=0时,两函数的图象只有2个交点,当a<0时,两图象没有交点,故必有a>0.若曲线y=-x2-3x(-3≤x≤0)与直线y=-a(x-1)(x≤1)相切,联立方程得x2+(3-a)x+a=0,则由Δ=0得a=1(a=9舍去),因此当0

16、x-1

17、的图象有4个交点;若曲线y=x2+3x(x>0)与直线y=a(x-1)(x>1)相切,联立方程得x2+(3-a)x+a=0,则由Δ=0可得a=9(a=1舍去),因此当a>9时,f(x)的图象与

18、y=a

19、x-1

20、的图象有4个交点,故当方程有4个互异实数根时,实数a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).

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