【学霸优课】2020数学（理科）一轮对点训练 2.9.2 函数的综合应用 含解析.doc

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1、1．设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)

2、a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.答案　(1){x

3、0

4、}　(2)①②③解析　(1)由已知条件(a，b，c)∈M，c>a>0，c>b>0，a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b得2a≤c，即≥2.ax＋bx－cx＝0时，有2ax＝cx，x＝2，解得x＝log2，＝log2≥1，∴0

5、0a>0，c>b>0，∴0<<1,0<<1.此时函数y＝x＋x在(－∞，1)上为减函数，得x＋x>＋，又a，b，c是△ABC的三条边长，∴a＋b>c，即＋>1，得x＋x>1，∴ax＋

6、bx>cx，∴∀x∈(－∞，1)，f(x)＝ax＋bx－cx>0，故①正确；对于②，∵y＝x，y＝x在x∈R上为减函数，∴当x→＋∞时，x与x无限接近于零，故∃x∈R，使x＋x<1，即ax＋bxc，a2＋b20，g(2)＝2＋2－1＝<0，∴y＝g(x)在(1,2)上存在零点，即∃x∈(1,2)，使x＋x－1＝0，即f(x)＝a

7、x＋bx－cx＝0，故③正确．综上所述，结论正确的是①②③.2．已知5的展开式中的常数项为T，f(x)是以T为周期的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是________．答案　解析　由Tk＋1＝C(x2)5－k·k＝kCx10－5k，常数项为10－5k＝0，即k＝2，所以T3＝2C＝2.函数f(x)是周期为2的偶函数，其图象如图所示．函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，说明函数y＝f(x)与直线y＝kx＋

8、k有四个交点，直线y＝kx＋k是过定点(－1,0)的直线．如图可知当直线y＝kx＋k为图中直线l位置时符合题意，当直线y＝kx＋k过点A(3,1)时，k＝，故满足条件k的范围为.3．如图为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v＝v(t)的图象，则该质点运动的总路程为________cm.答案　11解析　总路程为(2＋4)×1×＋4×1＋×2×4＝11.4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的

9、零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值．解　(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.当a＝0时，因为f′(x)＝3x2>0(x≠0)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a<0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，

10、函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f＝a3＋b，则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)·f＝b<0，从而或又b＝c－a，所以当a>0时，a3－a＋c>0或当a<0时，a3－a＋c<0.设g(a)＝a3－a＋c，因为函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪∪，则在(－∞，－3)上g(a)<0，且在∪上g(a)>0均恒成立，从而g(－3)＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此c＝1.此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，因函数有三个不同

11、的零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，解得a∈(－∞，－3)∪∪.综上c＝1.