【备战2020高考】高三数学一轮热点难点 专题23 利用正（余）弦定理破解解三角形问题.doc

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1、考纲要求:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题.基础知识回顾:1.＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba

2、＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解4.三角形常用的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】【河北省唐山一中2018届高三下学期强化提升考试（一）】已知中，，点在边上，且．（1）若，求；（2）求的周长的取值范围．【答案】（1）；（2）.中，利用正弦定理得：，所以：，由于：，则：，，，由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：.【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为

3、角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法.【例2】【河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练】已知在中，所对的边分别为，.（1）求的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）或（2）1（2）∵，∴又由余弦定理得，∴当时，则，∴，∴，当时，则，∴，，此方程无解.综上所述，当且仅当时，可得.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之

4、间的互化.第三步：求结果.类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例3】在中，，.（1）求证：是直角三角形；（2）若点在边上，且，求．【答案】（1）见解析；（2）（2）设，则，，，所以，在中，，，由正弦定理得，，所以【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例4】【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】在中，角所对的边分别为，已知且（1）判断的形状；（2）若，求的面积.【答案】（1）见解析；（2）（2）由（1）知，，则，因为，所以由余弦定理，得，解得，所以的面积．【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注

5、意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用.类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题【例5】【云南省红河州2018届高三复习统一检测】在中,角,,的对边分别为.已知,.(1)求角；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)2.（2）由（1）得,因为得,同理得,所以的面积.【点睛】本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．【例6】【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（八）】在中，角，，的对边分别是，，，若，，成等差数列.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】(1)；(2).又，∴，即.而，∴，由，得.方法、规律归纳:1.

6、三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、

7、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．实战演练:1．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）】在中，角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．【答案】(1)；(2).【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意