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《备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题25利用正（余）弦定理破解解三角形问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题25利用正(余)弦定理破解解三角形问题考纲要求:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2•会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S十阴nC.基础知识回顾：1.asinAQ其中斤是三角形外接圆的半径・由正弦定理可以变形：⑴abc=sinA:sinB：sinC；(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.2.余弦定理：a=l)+c~2bccosA9甘=a+c~2accosB,c=a+l)~2abcosC.变形:,A2+c~acosA=厶be厂a+c~l}C0S42accosC=aA-t)~c2ab⑴5=~a・A,(九表示a边上的高)・(2)
2、S=^absinC=^acsinB=^bcsinA=abc而•3•在△磁中，已知❺0和力解三角形时，解的情况力为锐角月为钝角或直角图形KLCA久■…1/A八一BcCkX.亦"尸〃AcB关系式abaWb解的个数无解一解两解一解一解无解4.三角形常用的面积公式(3)5=
3、r(a+A+c)(r为内切圆半径)・应用举例:类型一、利用正(余)弦定理解三角形【例1】【北京市朝阳区2018届高三上学期期屮统一考试】已知AABC屮，B=-,a=42.3(I)若/?=V3,求A；(II)若MBC的面积为也，求b的值.【答案】（I）A=~；（II）h=y/
4、4.4【解析】试题分析:（1）利用正弦定理得到Z=g・得到锐角的值；（2）利用面积公式2S=解得空=3庞・由余弦定理知^=714.2试题解析:（I）解：由正弦定理上=二,可得夬=迟•所以曲必=老・smJ佃心sin£23在三角形中，由已知所以A=-・（II）由面积公式"扣讪可得芈寺妊呼,解得“3妊由余弦定理知沪二/+/-加€0誑=2+18-6=14,所以b=^A【例2】【2017江苏泰兴中学高三月考】在△肋Q中，Z〃=¥，肋=6,胚=3乜,点〃在BC边上，AD=BD,求初的长.【答案】倾.【解析】设△磁的内角Abac,b?q所对边的长分别是血b?“由余弦定理得3=^+c-2bccos
5、乙BAC=（：?何）；+6；-2XX6Xco^~=18+36-（一36）=90,所以尸3逅•又由正弦定理得^nB=b3^ABACV101011-101010兀由题设知0＜贰三〉所以cosB=^l-sixCB=在△磁中〉因为AD=BD?所以乙AB片乙BAD,所以乙ADB=兀一2场6sinBs亠-r-n亠宀Aff•sinB6sinB3/—故由正弦正理侍血兀—2再=2s】n氏g匸;^=血・点评：正、余弦定理的应用原则(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用
6、到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和人边对人角定理进行判断.类型二、利用正(余)弦定理判断三角形形状【例3】【重庆市第一中学2018届高三上学期期中考试】已知MBC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,满足tanA=b2+c2-a2'(1)若求角A；I2丿（2）若d+c=bcosC+®sinC,试判断AABC的形状.【答案】(1)A=~；(2)ABC为正三角形.3【解析】试题分析：根据三角函数的余弦定理公式得到b2+c2-a2=2hccosA,结合题干中的公式可得
7、m豈亠"织根据特殊角的三角函数值得到⑵由正弦定理得到sin^+siDC=sin5cosC4-^/3siiiBsmC,化简后得到B=-?结合第一问得到AABC为正三角形.(1)由余弦定理知：+<72-^=2bccosA,(2)a--c=hcosC+V3/?sinC,由正弦定理有：sinA+sinC=sinBcosC+V3sinBsinC,而A=B+C,sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+V3sinBsinC,即cosSsinC+sinC=V3sinBsinC,而sinCH0,因此AABC为正三角形.点睛：第一问结合余弦定理，得到角A的三角函数值；第二问，先由正弦定理
8、的到cosBsinC+sinC=V3sinBsinC,再化一得到角B,根据第一问A,得到两角相等，可以知道三角形为等边三角形。【例4】【2017河南洛阳统考】在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且/?tanA,ctanB.bVdnB成等差数列.(1)求角4；(2)若a=2,试判断当％取最大值时ABC的形状，并说明理由.【答案】(1)A=~；(2)等边三角形.【解析】(1)因为/?tanA,danB.btanB成等差数列，所以Z?tanA=
