2019高考数学一轮复习专题突破23【利用正（余）弦定理破解解三角形问题】

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1、2019高考数学一轮复习专题突破23【利用正（余）弦定理破解解三角形问题】考纲要求：1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.S=—absinC2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题2基础知识回顾：1為二彘=2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：（l）a：b：c=sinA：sinB：sinC；（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.2.余弦定理：a2=b2+c2—2bccosA,B2=a2+c2—2accosB,c2=a2+b2—2abcosC.,b2+c2_a2_a2+c2—b2—a2+b2—c

2、2变形：cosA=―葢一，cosB=—瓦一，cosC=—巫一.3.在△ABC中，已知a,b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形ALA…1-C力、、…’BCCk乜匕关系式aba>ba

3、r(a+b+c)(i•为内切圆半径).应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】【河北省唐山一中2018届高三下学期强化提升考试

4、（一）】己知AABC中，ZB=60°,点D在BC边上，且AC=2竝・（1）若CD=V2,AD=2,求AB；（2）求AABC的周长的取值范鬧.【答案】（1）字；（2）（4V206V2]・【解析】【分析】（1）用余弦定理求出asG然后求出小冰?，利用正弦定理求出4E（2床

5、」用正弦定理求出各边长与角之间的数量关系，然后转化为角的问题，继而求出周长范围【详解】（"△ABC中，ZB=60%点D在EC边上，且AC=2駐CD=近,AD=2?贝

6、_

7、:cosC="占十曲所以:sinC=V1—cos2C=—.八」2ACCD4/'八八4在"BC中，利用正弦定理：芝gins解

8、得:sins3（2）△ABC屮，利用止弦定理得:AB_BC_AC_4V6sinCsinAsinB3所以:BC=^sinA0BA=^sinC=—sin(120°-A),山于：0

9、sinA+ycosA),=2匹+4匹sin(A+30。)，由于：0VAV120。，贝lj：30°

10、01J,所以aABC的周长的范由是：(4V206V2].【点睛】木题考杏了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周

11、长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。【例2】【河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练】已知在4ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sinB（l—2sin2弓仝）=V3cos2B.（1）求B的大小；（2）若sinAsinC=sin?B,求三的值.C【答案】（1）B=扌或B=乎（2）1【解析】【分析】(1)利用三角形内角和定理结合诱导公式，和与差，二倍角化简，可得B的大小.(2)根据sinAsiiiC^^^利用正弦定理，结合°)中R的值，即可求解夕的值.C【详解】解：(1)：

12、2sinB(l-2sin2=^cos2B,4.'.2smB(l—2sin2—V3cos2B=0>BPZsinBcosB+gcos2B=0〉.'.sm2B+V3cos2B=Q>.'.sin(25+勺=0,：.2B+^=kn(keZ)又牡(伽)，・・£=活切=乎(2)VsinAsinC=sin2B,・ac=b2又由余弦定理得b?=a24-c2—2accosB,/.a24-c2=ac(l+2cosB)当B=-时，则a24-c2—2ac=0,・：a=c,=1,3c当B=—时，则a2+c2+(V3-l)ac=0,6•••(^)2+(V3-1)^4-1=0,A=(

13、V3-l)2-4=-2V3<0,此方程无解.综上所述，当且仅当B==0j,可得三=1.3c【点晴】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角Z间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形屮的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.类型二、利用正(余)弦定理判断三角形形状【例3】在AABC中,C=60°,BC=2AC=2a/3.(1)求证：AABC是直角三角形；(2)若点D在BC边上，且s

14、in乙BAD=乎，求CD.【答案】(1)见解析；(2)竽【解析】【