高二数学教案：第9讲 椭圆与双曲线.doc

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1、辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A/B/C/D/E/F段主题椭圆与双曲线教学内容1.巩固复习椭圆与双曲线的性质；2.能综合运用椭圆与双曲线的性质解题。（以提问的形式回顾）1.对比椭圆与双曲线的性质，你能发现他们哪些性质相近，而哪些性质又完全不同？可以从定义，焦点三角形面积公式，与直线的位置关系等等很多角度去总结。2.讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4

2、，0），（4，0）．（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3），，时，所给方程没有轨迹．（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.【答案】：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，

3、当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中－=1.又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=，得kPM·kPN=·=，将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得kPM·kPN=.【评注】：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.试一试：已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若

4、直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；（2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.解：设直线与椭圆的交点坐标为.（1）把代入可得：，则，当且仅当时取等号（2）由得，，所以（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数.当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得则①又②所以当直线与轴垂直时，由得两交点，显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.例2.椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．（1）求实数的值；（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交与、

5、，证明：；解：（1）由题意知：半长轴为，则有∴（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．由得，设，，则，是上述方程的两个实根，于是，．又点的坐标为，所以故，即，故例3.已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为,。（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知,,是椭圆C上异于、的任意一点，直线、分别交y轴于、,求的值；（3）在（2）的条件下，若,,且，，分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标。解：（1）、所以椭圆C的标准方程为。（2）设，直线令x=0

6、，得：，所以：=，（3），又两正方形的面积和为当且仅当时，等式成立。两正方形的面积和的最小值为10，此时G、H。例4.已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。（1）求椭圆方程；（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；[来源:学

7、科

8、网]（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1），，椭圆方程为。（2），设，则。直线：，即，代入椭圆得。，。[来源:学科网ZXX

9、K]，（定值）。（3）设存在满足条件，则。，，则由得，从而得。存在满足条件。（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1.已知椭圆的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件．（1）写出椭圆方程，并求点到直线的距离；（2）若椭圆上恰好存在3个这样的点，求的值．解：（1）由题意得解得∴椭圆方程为：直线的方程为，其一个法向量，设点B的坐标为，由及得∴到直线的距离为（2）由（1）知，点B是椭圆上到直线的距离为1的点，即与直线的距离为1的二条平行线与椭圆恰好有三

10、个交点。设与直线平行的直线方程为由得，即……①当时，……②又由两平行线间的距离为1，可得……③把②代入③得，即，即，或当时，代入②得，代回③得或当，时，由①知此时两平行线和与椭圆只有一个交点，不合题意；当时，代入②得，代回③得或当，时，由①知此时两平行线和，与椭圆有三个交点，∴2.已知椭圆的两焦点分别为，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾