高二数学教案第7讲：直线和圆的综合.doc

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1、辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A/B/C/D/E/F段主题教学内容1.理解直线与圆的位置的种类2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有哪些？如何判断？通过交点个数判断没有交点（相离），一个交点（相切），两个交点（相交）那么如何用代数表示呢？教师通过提问来引出代数方法代数法：把已知圆的方程与已知直线的方程联立方程组，得到关于或的一元二次方程，利用判别式来讨论直线和圆的位置关系

2、，即时直线和圆相交；时直线和圆相离；时直线和圆相切.2.点到直线的距离公式是什么？如何应用它来判断直线与圆的位置关系呢？教师通过提问来引出几何方法几何法：设已知圆的圆心到已知直线的距离为，当时，直线圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.3.当直线与圆相交时：涉及弦长问题，常用弦心距，或者韦达定理计算弦长；涉及弦的中点问题，常用“点差法”将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。练习：已知直线和圆,试问：为何值

3、时，直线与圆相交？解：圆心到直线距离，求得或（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.已知为圆上一点，求过点的圆的切线的方程.解：因为是切线与圆的切点，所以过的半径与垂直，即是的法向量，于是可得切线的法向式方程：整理得又因为点在圆上，所以.所以过点的圆的切线方程为；特别地，当垂直于轴时，经过点的切线方程是，当垂直于轴时，经过点的切线方程是.试一试：求过点且圆相切的直线的方程.解：教师可根据学生的接受情况，适当讲解这种情况下的直线方程例2.已知圆的方程是，点是圆外一点，过M做圆的两条切线，切点分别为A、B，

4、求AB所在的直线方程解：设A点坐标为，B点坐标为，由上题的结论可知，点A和B所在的直线方程分别为：和，因为有点在这两条直线上，因此所以AB所在的直线方程为：试一试：过点引圆的两条切线，并且为切点，求直线的方程.解：.教师可根据学生的接受情况，适当讲解这种情况下的直线方程例3.已知圆，求过点与圆相切的切线．解：∵点不在圆上，∴切线的直线方程可设为根据∴解得所以即因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．试一试：求过点，且与圆相切的直线的方程．解：设切线方程为，即，∵圆

5、心到切线的距离等于半径，∴，解得，∴切线方程为，即，当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意。所以，所求的直线的方程是或．例4.己知圆,直线(1)证明:无论取何值直线与圆恒相交.(2)求直线被圆截得的最短弦长,及此时直线的方程.解：(1)将直线的方程变形，得．∵对于任意的实数,方程都成立，直线过定点在圆内，所以直线与圆相交（2）由平面几何知识可得：当直线l垂直AC时所得弦长最短，最短弦长为若直线经过圆内的一定点，那么该直线必与圆交于两点，因此可以从直线过定点的角度

6、去考虑问题.（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1.从点向圆作切线，则切线长度的最小值是解：由图形可知：点在圆外，点、切点与圆心三点构成直角三角形，当长度最小时，且线段最短2.直线过点P(0,2)且被圆截得弦长为2，求的斜率解：由题意可得直线斜率一定存在，设直线方程，圆心到直线距离　　求得3.已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程。解：设圆心坐标为．因为圆和轴相切，得圆的半径为，所以圆心到直线的距离为．由半径、弦心距、半径的关系得∴所求圆的方程为：或．4.过点的直线与

7、圆（1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长;（2）若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长;附加题：（3）若圆的方程加上条件，直线与圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值范围.解：（1）易知：是一条切线方程，设另一条直线方程为，圆心到直线距离，解得，所以切线方程为，；，，所以切线长　（2）直线方程为，圆心到直线距离，　（3）画图分析：或（以学生自我总结为主，TR引导为辅，为本次课做一个总结回顾）1.在的圆上是否存在四个点到直线的距离等于１。解：圆心到直线的距离等于２，通过画图分析可知：当时不存在题意

8、的四点；当时，存在满足题意的四点2.是圆内一点，则过点最短的弦所在的直线方程是()解：由平面几何知识可得？最短的弦所在的直线是过点且与垂直的直线。C3.直线与圆的关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定解：利用圆心到直线距离可知：直线与圆相切。B4.过坐标原点且与圆相切的直线的方程为解：设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或.5.已知圆,问：是否存在斜率为1的直线