高中同步数学教案第6章 三角函数.doc

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1、第六章：三角函数6、1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、正弦函数与余弦函数的定义：在建立弧度制以后，任意一个实数都对应唯一确定的角，而这个角又对应唯一确定的正弦值（或余弦值）。这样，对于任意一个实数，都有唯一的值（或）与它对应。我们把（或）叫做正弦函数（或余弦函数）。二、正弦函数与余弦函数的图像：.....利用三角函数线和描点法。可以得到函数，的图像。O因为，所以函数当的图像与，的图像的形状完全一样，只是位置不同，因此只要将函数，的图像向左（或右）分别平移、、、这样就可以得到函数，的图像。O怎样作余弦函数的图像？由诱导公式：，因此，只须将函数的图像向左

2、平移个单位，即可得到函数的图像。正弦函数、余弦函数的图像通常称为正弦曲线与余弦曲线。三、正弦函数、余弦函数的性质1、正弦函数、余弦函数的定义域和值域：，的定义域均为，值域均为。的最大值为，此时；最小值为，此时。的最大值为，此时；最小值为，此时。例1：求下列函数的定义域：（1）；　　　　　　　　　(2）；（3）；　(4）。　解：（1）要使函数有意义，则，即，根据三角函数线得到：，即此函数的定义域为：（2）由题意：，则，得，由得。在数轴上标出解集可知：或。所以此函数的定义域为。（3）。（4）。例2：求下列函数的值域：（1）；　　　　（2）；（3）；　　　（

3、4）；（5）。解：（1）因为，所以此函数的值域为；（2）因为且，所以此函数的值域为。（3）因为，又，所以此函数的值域为。（4）方法一：由，得，当时，得，因为，所以，解得；当时，函数式不成立，所以，此函数的值为。方法二：因为，，所以，则，所以所求的值域为。（5）由，得，即，由辅助角公式知：，即，因为，所以，解得：。即此函数的值域为。本例还可以利用万能公式求解：设，则，，再用“△”法或基本不等式都可以求解。例3：求下列函数的最大值与最小值，并求取得最值时的值。（1）；　　　　　　　（2）；（3）；　　　　　　（4）。解：（1）因为，当时，，即时，；当时,，

4、即时，。（2）因为，则当，即时，，当，即时，。（3）因为，所以函数的值域为．（4）设，则，则，由，所以当时，，此时，即，，或；当时，，此时，即，。综上：，或时，；时，。例4：ABCD如图：矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，。如果与的夹角为。（1）当为何值时，矩形的周长最大？（2）当为何值时，矩形的面积最大？解：由题意可知：，所以，。（1）矩形的周长为＝。因为，所以当时，矩形的周长最大，最大值为。（2）矩形的面积＝。当，即时，矩形面积的最大值为。2、正弦函数与余弦函数的周期性周期函数的定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内任意

5、值时，都有成立，那么函数叫做周期函数，常数叫做函数的周期。最小正周期的定义：对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期。函数与的周期：因为。知正弦函数与余弦函数都是周期函数，且是它们的周期。在这些周期中，是它的最小正周期。求函数的周期，若不作特别说明，一般都是指它们的最小正周期。例5：等式是否成立？若成立，能否说明是函数的周期？说明理由。解：因为，，所以等式能成立。但不是函数的周期，这是因为不是对于函数定义域中的任意实数都成立。如时，此式不成立。例6：求下列函数的最小正周期：（1）；　　　　　（2

6、）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。说明：函数的周期为。3、正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性：在上是奇函数，在上是偶函数。正弦函数的图像关于直线对称，关于点成中心对称；余弦函数的图像关于直线对称，关于点成中心对称。从正弦函数与余弦函数的图像上可以看出：正弦函数与余弦函数的图像的对称轴是经过此图像上的最高点（或最低点）与轴垂直的直线，其对称中心是其图像与轴的交点。例7：作函数的图像，根据图像确定函数是否是周期函数。解：，它的图像关于轴对称。从图像上可以看出：函数不是周期函数，因为在的图

7、像没有其它区间的图像与之相同。例8：判断下列函数奇偶性，并说明理由。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）奇；（2）偶；（3）非奇非偶；（4）奇；（5）函数的定义域满足：，即，，且，故此函数的定义域不关于原点对称，所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。例9：写出函数的对称轴方程与对称中心的坐标。解：对称轴方程为；对称中心坐标为。例10：已知函数。（1）求此函数为奇函数的充要条件；（2）求此函数为偶函数的充要条件。解：（1）；（2）。例11：已知函数（1）若函数图像关于直线对称，求的值；（2）若函数图像关于点对称，求的值。解：（1）；（2）。4

8、、正弦函数与余弦函数的单调性：正弦函数的单调性：观察正弦函数的图像：O正弦函数在闭区间上是增函