数模培训围棋模型5

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1、围棋中的数学模型围棋是一项智力性很强的棋类项目，其起源说法很多，关于围棋棋盘的边数设置及胜负贴目规定也一直随着人们对围棋认识的不断深入而逐渐变更着，现在的围棋棋盘虽已确定每边19道，胜负贴目也基本有所公论，但终缺一个令人信服的说明或证明。一、问题及分析众所周知，自围棋问世以来，围棋棋盘的设置经历了数次变化，这自然会令人提出一个问题：现在的棋盘是否还会变化？方形棋盘每边设计多少道才是最佳的？另外，关于先手贴后手的目数规定也经历了一些变化，那么，到底先手帖后手多少目才最为合理呢？我们先来研究一下方形棋盘。围棋棋盘是由纵横交错的线组成的方形交叉点域，我们把四条边界线称为一线，与边

2、界相邻的四条线称为二线，这样，依次根据与边界的距离而称为各线为三线、四线——各线上的点由于距离边界相同，因此，它们便具有比较一致的特性。下围棋最先考虑的还是棋块的死活问题，所谓棋块，即是棋子相互接连没有被断而形成的整体，如果一块棋不活，占的交叉点再多也没用，因此，研究每一线围棋的作用时，应首先考虑那一线棋子的成活速度，即最快——更确切地说是用最少的点来得到活棋，我们先引入准活型的概念：定义一棋块虽不是成活型棋块，但当对方进攻此棋块时，总可以通过正确应对而最终成为活棋，则此块棋称为准活型棋块。准活型的概念显然有其实际意义，事实上，对弈开局时棋手们只是把棋走成大致的活型，而并非

3、耗费子力去真正把棋块做成成活型。例1计算二线、三线、四线棋子形成准活型棋块所用的最少子数。我们摆出二线、三线、四线的最快准活型：图1用由此可以看出，三线较二线、四线的成活速度要快。从此例还可以看出，五线、六线等其他线型成准活型的速度显然要慢于三线，即（i为自然数）表示第i线形成准活型所用的最少子数，从图1易得到因此，就控制边的能力上看，三线具有最快成活的特点，从而成为围棋杆上重要的一线。二、棋盘模型的建立为了对围棋问题建立数学模型，需对围棋棋子价值有个数学描述，为此我们给出如下定义：定义2对于一块成活型棋块，用它的棋子数去除这些棋子所包含的目数，得到的商值称为此棋块的目效率

4、，记为PE。从上边定义看出，目效率表示单位棋子所占的目数，即表示此棋块平均占有目数的能力。下面利用此概念对围棋棋盘问题建立模型。围棋的棋盘由古时的每边11道增至现在的每边19道，其间历经数千年。这种进化的过程也显示着人们的认识逐渐接近真理。现在的棋盘经受了二千年的考验，其边数设置必有其合理性，关键在于先手和后手的无差异上，古人在不贴子的情形下仍可公平对弈，说明先下的一方占的便宜不会太大。可以推测，围棋内部一定存在两种抗衡的力量，使先手即使先落子也无法取得多少优势。一般的棋类（如象棋），往往有攻有守，攻守之间有一种平衡，而且随时可以转换，因此，先手一方即使先进行攻击也未必得胜

5、。由此可以说，一般棋类之所以变化无穷，根本原因在于其包含了攻与守这既对立又统一的两个方面。它们在胜负的天平上地位相同，相互抑制，一切取胜的走法或定式不过是围绕着攻与守，或以守为攻——来进行罢了。围棋亦如此，但围棋的攻守（攻为欲杀死对方，守为不被对方杀死）却显然不同于其他棋类。由于弈棋双方轮换落子，因此，单纯为杀死对方而进行攻击要比防守来得困难。就是说，围棋里的攻与守无法取得相同的地位，因此，绝不能把围棋也认为是攻与守的对立一体。但围棋那样富于变化，从根本上讲，其内部一定存在着两种力量的抗衡。这两种力量既可以对抗，又可随时转换。关于这两种力量的确定自然要涉及围棋的特点，我们知

6、道，任何事物的两个对立面之间的斗争都是围绕着事物的发展规律而展开的，象棋的两个对立面之所以是攻与守，无非是缘于其取胜规则为吃掉对方的将（帅），不进攻当然不行。因此，在确定围棋中对抗的两种力量时必须意识到：这两种力量抗争的最终目的与围棋的目的应统一的，即多占地盘。首先，我们把围棋棋盘按区域特点笼统地分为边部和中腹。从做活和占地两个角度看，边部因空间受阻而易受攻击，但可利用边部成目快的特点迅速做活，有根据地后再图发展；中腹则由于四方皆可发展，不容易受到攻击，做活便退居其次，而先去抢占空间，由此可见，边部和中腹将成为围棋中的两种对抗的努力，除此之外，还应保证两种势力所具有的价值相

7、同，从而使二者能够真正地进行抗衡，这是必要的，否则，无论偏重哪一方，围棋都会成为单一争夺边部或中腹的乏味游戏，而且使先手棋获益颇大。前面在讨论三线的作用时，曾经指出三线控制边部的优势，显然，控制中腹的重任无疑落到了紧邻的四线上，这样，问题最终可化为：怎样设计方形棋盘（即每边选取多少道）使三线围成的边部与四线围成的中腹具有相同的地位或最小的差异？三线点、四线点设置如图2（此时棋盘每边道数为19）、设三线点、四线点组成的棋块目效率分别为根据三线与四线目效率相近的原则，我们提出本节的数学问题：方形围棋棋盘每边设置多少道数