数模型培训概念.ppt

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1、数学模型的基本概念本节将介绍什么是数学模型及建立数学模型的方法和步骤。在日常生活和工作中，经常会遇到或用到模型，如飞机模型、坦克模型、火箭模型、水坝模型等各种实物模型。用文字、符号、图表、公式等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等抽象模型。模型是人们所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，因而应具有如下的特点。（1）它是客观事物的一种模拟或抽象；它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解，为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，因此要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。

2、（2）为了能协助人们解决问题，模型必须具有所研究系统的基本特征或要素。此外，还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。那末如何给数学模型下一个具体的定义呢？数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。具体说来，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图形、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。由于各个人所站角度不同，可以给出不同的定义，故我们没有必要去追求精确的定义，那不是

3、我们的目的。二、建立数学模型的方法和步骤1．调查研究在建模前应对实际问题的历史背景和内在机理要有深刻的了解，必须对该问题进行全面的、深入细致的调查和研究。首先要明确所解决问题的目的要求和着手收集数据，而数据是为建立模型而收集的，因此，如果在调查研究时对建立什么样的模型有所考虑的话，那么我们就按模型的需要更有目的地，更合理地来收集有关数据。收集数据时应注意精度的要求，在对实际问题作深入了解时，应向有关专家或从事实际工作的人员请教，将使你对问题的了解更快和走捷径。2．现实问题的理想化现实问题错综复杂，涉及面非常之广。因此要想建立一个数学模型来反映一个现实

4、问题面面俱到、无所不包是不可能的，也是没有必要的。一个模型，只要能反映我们所需要的某一个侧面就行了，或者在此基础之上进一步提高。建模前必须先将问题理想化，简单化，即首先抓住主要因素，暂不考虑次要因素。在相对比较简单的情况下，理清变量之间的关系，建立相应的模型（在三级火箭模型和人口模型中会有所体会）。为此对所给问题给予必要的假设，不同的假设会得到不同的模型。这一步是建立模型的关键。如果假设合理，则模型与实际问题比较吻合；如果假设不合理或过于简单（即过多地忽略了一些因素），则模型与实际情况不吻合，或部分吻合，就要修改假设，修改模型。3．建立模型在已有假设

5、的基础上，可以着手建立数学模型，建模时应注意以下几点：（1）分清变量类型恰当使用数学工具。如果实际问题中的变量是确定性变量，建模时数学工具多用微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、网络、确定性存贮论等数学方法。如果变量是随机变量，建模时数学工具多用概率、统计、随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等数学方法。由于数学分支很多，又加之相互交叉渗透，派生出许多分支，建模具体用什么分支好，一是因问题而异，二是因人而异，应看自己对哪门学科比较熟悉精通，尽量发挥自己的特长。总之，对变量进行分析是建立模型的基础。（2）抓住问题的本质，简化变量之间的

6、关系。因为模型过于复杂，则无法求解或求解困难，就不能反映客观实际。因此应尽可能用简单的模型如线性化，均匀化等来描述客观实际。建模的原则是：模型尽可能简单、明了，思路清晰，能不采用则尽量不用高深的数学知识，不要追求模型技术的完美，侧重于实际应用。只要问题能解决，模型越简单越能被决策者所采用。（3）建模要有严密推理。在已定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃。（4）建模要有足够的精确度。由于实际问题常对精度有所要求，建模时和收集资料时要予以充分考虑。但同时实际问题又非常复杂，作假设时又要去掉非本质的东西，把

7、本质的东西和关系反映进去，因而要掌握好这个尺度，有时要有一个反复摸索的过程。4．模型求解不同的模型要用到不同的数学工具求解。这就要求从事实际工作者对相应的数学分支知识有一定的了解。当然，由于计算机的广泛使用，利用已有的许多计算机软件为我们求解带来方便。因而尽可能地掌握已有的软件，使你解决问题省力不少。5．模型分析对模型求出的解进行数学上的分析，有助于对实际问题的解决。分析时，有时要根据问题的要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的结果稳定性进行分析。有时根据求出的解对实际问题的发展趋势进行预测，为决策者提供最优决策方案。除此之外，常常需要进行误差分析，

8、模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等。6．模型检验一个模型是否反映了客观实际，可用已有的数据去验证。如果由模