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1、数学建模之线性规划模型例1：最优生产计划问题某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，单件产品在不同设备上加工时间、所需要材料量、利润见下表：产品资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润（元/件）403050问：如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？建模的步骤用数学语言表述问题(提出假设，定义数学符号，分析变量之间的数学关系…)选择建模方法构建数学模型求解模型对结果进行分析、检验，回答问题例1：最优生产计划问题假设1：该
2、企业以利润最大为目标。分析：问题中需要决定甲产品生产的数量(件)(可设为变量x1)乙产品生产的数量(件)(可设为变量x2)丙产品生产的数量(件)(可设为变量x3)则利润可表示为：40x1+30x2+50x3约束条件A设备工时限制：B设备工时限制：变量非负：x1，x2，x3≥0C材料数量限制：D材料数量限制：例1：最优生产计划问题设x1、x2、x3分别为甲、乙、丙三种产品的产量，Z表示企业在计划期内总的利润，问题的数学模型为：这是一个线性规划模型线性规划问题的一般模型每一个问题都可以用一组决策变量(x1,x2,…,xn)表示问题的待定方案，这组决策
3、变量的一组确定的值就代表一个具体方案，这组变量的取值往往是非负的。存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于决策变量的线性等式或不等式来表示。线性规划问题的一般模型有一个期望达到的目标，这个目标能用某种确定的数量指标刻画出来，而这种数量指标可表示为关于决策变量的线性函数，按所考虑的问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。满足以上三个条件的问题就是线性规划(LinearProgramming)问题线性规划问题的一般模型一般地，假设线性规划数学模型中有m个约束，有n个决策变量xj，j=1,2,…,n。目标函数中变量的系数称为价值系数,用cj表示。约
4、束条件的变量系数称为工艺系数,用aij表示。约束条件右端的常数称为资源限量,用bi表示(i=1,2,…,m)。线性规划数学模型的一般表达式线性规划数学模型的一般表达式在实际中一般xj≥0,但有时xj≤0或xj无符号限制。或写成：如何从实际问题中抽象出 线性规划模型？设（决策）变量根据问题写出变量应满足的条件（约束条件）写出目标（函数）例3：易拉罐下料问题某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压成的，为圆柱状，包括罐身、上盖和下底。罐身高10cm，上盖和下底的直径均为5cm。该公司使用两种不同规格的镀锡板原料，规格1
5、的镀锡板为正方形，边长24cm；规格2的镀锡板为长方形，长32cm，宽28cm；由于生产设备和生产工艺的限制，规格1的镀锡板只能按模式1、2、3冲压，规格2的镀锡板只能按模式4冲压(见图)，使用模式1、2、3、4进行冲压所需时间分别为1.5秒、2秒、1秒和3秒冲压模式模式1模式2模式3模式4罐身上盖下底易拉罐下料问题该公司每周工作40小时，每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张，目前每只易拉罐的利润为0.1元，原料余料损失为0.001元/cm2(如果周末有罐身、上盖或下底不能配套成易拉罐出售，也看成是余料损失)。公司应如何安排每
6、周的生产？问题分析：目标应是易拉罐的利润扣除原料余料损失后的净利润最大；约束条件除每周工作时间的原料数量外，还要考虑罐身和盖、底的配套组装。四种冲压模式的特征罐身个数底、盖个数余料损失(cm2)冲压时间(秒)模式1110222.61.5模式224183.32模式3016261.81模式445169.53模型建立决策变量：用xi表示按第i种模式冲压的次数(i=1,2,3,4)y1表示一周生产的易拉罐个数y2表示不配套的罐身个数y3表示不配套的盖(底)个数决策目标(设每周生产的易拉罐全部售出)：净利润最大净利润=利润－四种冲压模式的余料损失－不配套造
7、成的原料损失模型建立决策目标(设每周生产的易拉罐全部售出)：maxZ=0.1y1－0.001(222.6x1+183.3x2+261.8x3+169.5x4+157.1y2+19.6y3)其中：不配套罐身每个损失10×π×5=157.1cm2不配套盖(底)每个损失π×2.52=19.6cm2模型建立约束条件时间约束：每周工作不超过40小时(144000秒)1.5x1+2x2+x3+3x4≤144000原料数量约束：规格1、2镀锡板分别为5万张和2万张x1+x2+x3≤50000x4≤20000配套约束：一周生产的罐身个数=x1+2x2+4x4一周
8、生产的盖(底)个数=10x1+4x2+16x3+5x4模型建立配套约束：一周生产的易拉罐个数=min{x1+2x2+4x4，0.5(10
