概率统计和随机过程课件5.2随机变量的数学期望.ppt

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1、第五章随机变量的数字特征1定义1设X为离散型随机变量，其概率分布为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望记作E(X)数学期望的定义随机变量的数学期望2定义2设X为连续型随机变量,其密度函数为若广义积分绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望记作E(X)随机变量的数学期望的本质——加权平均，它是一个数不再是随机变量3E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y).数学期望的性质4市场上对某种产品每年的需求量为X吨，X~U[2000

2、,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？解设每年生产y吨的利润为Y显然，2000

3、中的环数分别为：甲10,6,7,10,8,9,9,10,5,10乙8,7,9,10,9,8,7,9,8,9问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.4,乙=8.4§5.2方差有六个不同数据仅有四个不同数据11再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定12进一步比较平均偏离平均值的程度甲乙13定义若E((X-E(X))2)存在，则称其为随机变量X的方差,记为D(X)D(X)=E((X-E(X))2)称为X的均方差.方差的概念(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量E(X

4、-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——是一个数。14若X为离散型变量，概率分布为若X为连续型，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：15证明：16D(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)特别地，若X,Y相互独立，则方差的性质17若相互独立，为常数则若X,Y相互独立对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)18性质1的证明：性质2的证明：19性质3的证明：当X,Y相互独立

5、时，注意到，20性质4的证明：当C=E(X)时，显然等号成立；当CE(X)时，21例1设X~P(),求D(X).解方差的计算22例2设X~B(n,p)，求D(X).解一仿照上例求D(X).解二引入随机变量相互独立，故23例3设X~N(,2),求D(X)解24常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()25分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)26例4已知X,Y相互独立，且都服从N(0,0.5),求E(

6、X–Y

7、).解故

8、27例5设X表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为p，求E(X),D(X).令Xi表示击中目标i-1次后到第i次击中目标所需射击的次数，i=1,2,…,n相互独立，且计算？解28常用29故30例6设求E(Y),D(Y).解3132作业习题五15，16，1733