概率统计和随机过程课件53随机变量的数学方差

《概率统计和随机过程课件53随机变量的数学方差》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1第五章随机变量的数字特征课件2定义若E((X-E(X))2)存在，则称其为随机变量X的方差,记为D(X)D(X)=E((X-E(X))2)称为X的均方差.方差的概念(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量E(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数课件3若X为离散型变量.，概率分布为若X为连续型，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：课件4D(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)特别地，若X,Y相互独立，则方差的性质课件5若相互独立，为常数则若X,Y相互独立对任意常数C,D(X)E(

2、X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)课件6例8将编号分别为1~n的n个球随机地放入编号分别为1~n的n只盒子中，每盒一球.若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对.求配对个数X的期望与方差.解则不相互独立，但课件7P10课件8P10P10课件9课件10仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025与它们有相同的期望、方差但是分布却不同课件11但若已知分布的类型，及期望和方差，常能确定分布.例9已知X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=

3、3,Y=1–2X,求Y的密度函数.解课件12标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为X的标准化随机变量.显然，课件13§5.3协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.数反映了随机变量X,Y之间的某种关系课件14定义称为X,Y的协方差.记为称为（X,Y）的协方差矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵协方差和相关系数的定义课件15若D(X)>0,D(Y)>0,称为X,Y的相关系数，记为事实上，

4、若称X,Y不相关.课件16若(X,Y)为离散型，若(X,Y)为连续型，协方差和相关系数的计算课件17求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1已知X,Y的联合分布为XYpij1010p00q0

5、系由X，Y表达式：由X，Y表达式：课件24例4设X,Y相互独立，且都服从N(0,2),U=aX+bY,V=aX-bY,a,b为正常数，且都不为零，求UV解由课件25而故继续讨论：a,b取何值时，U,V不相关？此时，U,V是否独立？若a=b，UV=0,则U,V不相关.此时，U，V也是独立的。课件协方差的性质协方差和相关系数的性质当D(X)>0,D(Y)>0时，等号成立当且仅当27证5:令对任何实数t,即—Cauchy-Schwarz不等式其中课件28等号成立有两个相等的实零点即又显然课件29即即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为课件30完全类似地可以证明当E(X2

6、)>0,E(Y2)>0时，当且仅当时，等式成立.课件31相关系数的性质Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为课件32课件33课件34X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关若X,Y服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关课件35作业习题五20，21，22，24课件