变量取整数的最值问题.pdf

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1、2中等数学●数学活动课程讲座●3变量取整数的最值问题王连笑(天津实验中学,300074)(本讲适合初中)1976换成2002,2003,方法仍然是相同的.我们学习过二次函数的最值问题:给出一由于和为1976的不同的正整数组只有2个二次函数y=ax+bx+c,当x取全体实数有限多个,而它们的乘积也只有有限多个,所b以乘积的最大值是存在的.时,若a>0,则当x=-时,y有最小值2a设n个正整数x1,x2,⋯,xn之和为1976,24ac-bb;若a<0,则当x=-时,y有最大即4a2a2x1+x2+⋯+xn=1976.4ac-

2、b值.或者,当m≤x≤n时,我们也能4a这里的n是一个变量,这是因为题目中要求够求出这个二次函数的最值.这样的最值问题的和为1976的正整数的个数是不确定的.我的特点是:自变量x取全体实数或部分实数,们的目标是追求乘积的最大值,而不拘泥于正如果在平面直角坐标系表示出来则是一个“连整数的个数n.续”的状况.但有些问题,它的自变量不是取实首先,关注一个大于4的正整数.数,而是取整数,变量呈现一定的“离散”状况,如果x1,x2,⋯,xn中有一个大于4,比如这时,我们学习过的求最值的方法就不一定适xj>4,把xj拆成一个2与一个x

3、j-2的和bxj=2+(xj-2).用了,因为这时-不一定是整数.另外,还2a两个加数的乘积有不少题目给出的变量不仅是取整数,而且变2(xj-2)=2xj-4=xj+(xj-4)>xj.量不一定是一个,解这类问题,我们学习过的所以,第一步调整是把x1,x2,⋯,xn中所方法也不一定适用.有大于4的数xj,通过分拆为2与xj-2,全部对于有一个变量或多个变量取整数的最换成不大于4的正整数.值问题如何求解呢?主要方法有两种:第一种当然,不能让拆出的数中出现1,因为这是局部调整法,第二种是估计—构造法.时乘积不会变大.还要注意到

4、,如果拆出的数1　局部调整法恰巧出现4,由于4=2+2=2×2,所以把4换成2+2时,不会使乘积变小.让我们从熟悉的例题谈起.因此,第二步调整是把xi中所有的4全例1　已知若干个正整数之和为1976.求部换成2+2.其乘积的最大值.经过这两步调整,乘积将会变大,而且是讲解:这是在1976年举行的第18届国际把1976拆成若干个2与3的和.数学奥林匹克题,但是1976不是关键,把下面的注意力就放在2和3的调整上.3　本文收稿日期:20002206217由于2+2+2=3×2,但2×2×2<3×3,2002年第6期3这说明,在

5、对1976的分拆中多出现3比多出⋯,1,44).现2好.这时,由于于是,第三步调整是把1976的分拆中,1+1+⋯+1+44=66×1+44=110,每三个2换成两个3,即让分拆中多出现3.并且每调整一次,平方和就增大一次,所以,所222因为1976=658×3+2,所以经过这三步求x1+x2+⋯+x67的最大值为222调整把1976分成658个3与1个2之和.1+⋯+1+44=2002.这时的乘积最大,最大值为2×3658.66个例3　某工厂开工的第一天的产量不超这道题的解题过程是:第一次调整过20件,此后日产量每天都有

6、所增加,但每次一组正整数的和等于1976大于4的数拆成2,3,4增加的产量的数量不超过20件.证明:当日产第二次调整若干个2,3,4的和等于1976量达到1995件时,工厂生产的产品数量不会4拆成2+2第三次调整少于100500件.若干个2,3的和等于19763个2拆成2个3讲解:设工厂开工后第n天的日产量达乘积最大值658个3与1个2的和等于19766582×3到1995件.如果设第一天的日产量为a1件,例2　已知x1,x2,⋯,x67是正整数,并且第i天增加的产量为ai件,则第n天的日产222它们的和等于110.求x1

7、+x2+⋯+x67的最大量应为值.a1+a2+⋯+an=1995.(0

8、-x1)>x1+x67,小值.这表明,如果把最小数x1减少1,而把最大数现在进行调整:x67增加1(这时67个正整数的和不变),它们在a1,a2,⋯,an中从后往前数,寻找小的平方和就增大.于20的数,设遇到的第一个小于20的数为ak为此,我们进行这样的调整:(k>1),这时我们就给ak增加1,相应地给