多元变量最值问题解法探析_方立新

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1、解题研究多元变量最值问题解法探析方立新（江苏省扬中市外国语中学）多变量函数最值问题因形式活泼、题型新颖、蕴含着丰富使未知数的个数减少，直到能够解决为止。的思想方法，一直深受命题者的青睐。这类问题，能较好地考例3若实数a，b满足ab-4a-b+1=0（a>0），则（a+查学生对基础知识、数学思想方法的掌握程度，检验学生思维1）（b+2）的最小值为_______。灵活性，因此正逐渐成为考试或竞赛的热点问题。但由于其综4a-1解：因为ab-4a-b+1=0，所以b=。a-1合性强、解法灵活多变的特点，从而也是学生的难点

2、问题，正4a-1确率较低。文章就高中阶段常见多变量最值问题的解法举例进所以（a+1）（b+2）=（a+1）2+22。a-1行阐述。令t=a-1，则上式可化为（t+2）23+62=15+6+6t≥27。一、均值定理法tt当题目是已知和（积）为定值求积（和）的最值时，往往【评析】此题通过消元法，将二元变量问题转化为一元变量可以用均值定理来求解，高中阶段主要是借助于二元的均值定问题来解决。当然，多元变量问题也可以通过消元转化为二元理即基本不等式来解决。如果遇到多元的时候，则用多元均值问题或者是一元问题。定理、柯西不等式

3、或者消元后用基本不等式。例4已知对任意实数x，二次函数f（x）=ax2+bx+c≥0姨aca+b+c例1已知a，b，c∈（0，+∞），3a-2b+c=0，则恒成立，且a0，且b2-解：a，b，c∈（0，+∞），由已知条件等式得2b=3a+c≥b24ac≤0，所以c≥。4a姨ac12姨3ac，所以≤。2b姨3a+b+bba+b+c4a4+4t+t2令=t>1，则≥==例2设正实数x，y，z满足

4、x2-3xy+4y2-z=0，则当xyab-ab-a4（t-1）z1（2t-1）+9+62≥3。取得最大值时，2+1-2的最大值为_________。4t-1xyz三、整体换元法解：由x2-3xy+4y2-z=0，可得z=x2-3xy+4y2，解决多变量最值问题的过程中，整体换元可将变量个数减xyxy11故==≤=1，zx2-3xy+4y2x4y少或将不易求最值的式子划为便于用一些基本不等式来解答的+-32姨4-3yx形式，从而使问题得到解答。x4y例5设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大当

5、且仅当=，即x=2y时等号成立。yx值为__________。此时，z=2y2，故2+1-2=-1+2=-21-122+1，222解：4x+y+xy=1，所以（2x+y）-3xy=1。xyzy2yy2x+y2t2212令2x+y=t，则2x·y≤22，即xy≤，所以因此，当y=1时，2+-2max=1。28xyz【评析】此题消元后化为学生熟悉的二次函数的最值问题，t2-1≤3t2。8将均值不等式的应用与二次函数的最值问题有机结合起来，一282姨102姨10气呵成，浑然一体。即t≤，-≤t≤。555二、减元消元法2

6、姨10所以2x+y的最大值为。多元变量的最值问题，消元是最朴素的方法。当题目中出5现两个及其以上的变量时，可利用已知条件消去一些未知数，【评析】根据条件形式，将目标2x+y看成是一个整体，是［2015年第8期］43解题研究解决本例的关键所在。程，因此目标是求点（a，b）与点（3，0）连线斜率的最大值问题。xy五、线性规划法例6已知x，y为正数，则+的最大值为3x+yx+2yb+c≤2a，________。例9在△ABC中，已知三边a，b，c满足△则c+a≤2b，2m-n3n-m解：设3x+y=m，x+2y=n，则

7、x=，y=。b55的取值范围是_______。axy2m-n3n-mnm所以+=+=1--≤△a+b>c，3x+yx+2y5m5n5m5n△△△解：因为a，b，c是三角形三边，则△a+c>b，将所有的23△1-=。△55△△b+c>a，所以x+y的最大值为3。不等式两边都同除以a得：3x+yx+2y5△bc△1+>，【评析】将所求表达式的两个分母分别看成是两个整体，先△△bc△aa△+≤2，△△△用换元法，将条件中的x，y用所设的变量表示，后用基本不等△△aa△△cbbc△△1+>，令=x，=y，△△aaaa式求

8、解。△cb△△+1≤2，△△aa△四、三角代换法△△bc△+>1，△aa△例7已知a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，设p=△x+y≤2，△y≤-x+2，△△223△△-+，求p的最大值。△△a2+1b2+1c2+1△y+1≤2x，△yy，即△y>x-1，解：设a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈∈0，∈，△△