欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:46583375
大小:171.45 KB
页数:3页
时间:2019-11-25
《多元变量最值问题解法探析_方立新》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、解题研究多元变量最值问题解法探析方立新(江苏省扬中市外国语中学)多变量函数最值问题因形式活泼、题型新颖、蕴含着丰富使未知数的个数减少,直到能够解决为止。的思想方法,一直深受命题者的青睐。这类问题,能较好地考例3若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>0),则(a+查学生对基础知识、数学思想方法的掌握程度,检验学生思维1)(b+2)的最小值为_______。灵活性,因此正逐渐成为考试或竞赛的热点问题。但由于其综4a-1解:因为ab-4a-b+1=0,所以b=。a-1合性强、解法灵活多变的特点,从而也是学生的难点
2、问题,正4a-1确率较低。文章就高中阶段常见多变量最值问题的解法举例进所以(a+1)(b+2)=(a+1)2+22。a-1行阐述。令t=a-1,则上式可化为(t+2)23+62=15+6+6t≥27。一、均值定理法tt当题目是已知和(积)为定值求积(和)的最值时,往往【评析】此题通过消元法,将二元变量问题转化为一元变量可以用均值定理来求解,高中阶段主要是借助于二元的均值定问题来解决。当然,多元变量问题也可以通过消元转化为二元理即基本不等式来解决。如果遇到多元的时候,则用多元均值问题或者是一元问题。定理、柯西不等式
3、或者消元后用基本不等式。例4已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c≥0姨aca+b+c例1已知a,b,c∈(0,+∞),3a-2b+c=0,则恒成立,且a0,且b2-解:a,b,c∈(0,+∞),由已知条件等式得2b=3a+c≥b24ac≤0,所以c≥。4a姨ac12姨3ac,所以≤。2b姨3a+b+bba+b+c4a4+4t+t2令=t>1,则≥==例2设正实数x,y,z满足
4、x2-3xy+4y2-z=0,则当xyab-ab-a4(t-1)z1(2t-1)+9+62≥3。取得最大值时,2+1-2的最大值为_________。4t-1xyz三、整体换元法解:由x2-3xy+4y2-z=0,可得z=x2-3xy+4y2,解决多变量最值问题的过程中,整体换元可将变量个数减xyxy11故==≤=1,zx2-3xy+4y2x4y少或将不易求最值的式子划为便于用一些基本不等式来解答的+-32姨4-3yx形式,从而使问题得到解答。x4y例5设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大当
5、且仅当=,即x=2y时等号成立。yx值为__________。此时,z=2y2,故2+1-2=-1+2=-21-122+1,222解:4x+y+xy=1,所以(2x+y)-3xy=1。xyzy2yy2x+y2t2212令2x+y=t,则2x·y≤22,即xy≤,所以因此,当y=1时,2+-2max=1。28xyz【评析】此题消元后化为学生熟悉的二次函数的最值问题,t2-1≤3t2。8将均值不等式的应用与二次函数的最值问题有机结合起来,一282姨102姨10气呵成,浑然一体。即t≤,-≤t≤。555二、减元消元法2
6、姨10所以2x+y的最大值为。多元变量的最值问题,消元是最朴素的方法。当题目中出5现两个及其以上的变量时,可利用已知条件消去一些未知数,【评析】根据条件形式,将目标2x+y看成是一个整体,是[2015年第8期]43解题研究解决本例的关键所在。程,因此目标是求点(a,b)与点(3,0)连线斜率的最大值问题。xy五、线性规划法例6已知x,y为正数,则+的最大值为3x+yx+2yb+c≤2a,________。例9在△ABC中,已知三边a,b,c满足△则c+a≤2b,2m-n3n-m解:设3x+y=m,x+2y=n,则
7、x=,y=。b55的取值范围是_______。axy2m-n3n-mnm所以+=+=1--≤△a+b>c,3x+yx+2y5m5n5m5n△△△解:因为a,b,c是三角形三边,则△a+c>b,将所有的23△1-=。△55△△b+c>a,所以x+y的最大值为3。不等式两边都同除以a得:3x+yx+2y5△bc△1+>,【评析】将所求表达式的两个分母分别看成是两个整体,先△△bc△aa△+≤2,△△△用换元法,将条件中的x,y用所设的变量表示,后用基本不等△△aa△△cbbc△△1+>,令=x,=y,△△aaaa式求
8、解。△cb△△+1≤2,△△aa△四、三角代换法△△bc△+>1,△aa△例7已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设p=△x+y≤2,△y≤-x+2,△△223△△-+,求p的最大值。△△a2+1b2+1c2+1△y+1≤2x,△yy,即△y>x-1,解:设a=tanα,b=tanβ,c=tanγ,α,β,γ∈∈0,∈,△△
此文档下载收益归作者所有