动点最值问题解法探析

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1、http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教动点最值问题解法探析一、问题原型：（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）　　　　　　线段和最小，常见

2、有三种类型：（一）“

3、定动

4、+

5、定动

6、”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点+一个动点。如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是　　　　　。http://www.langla

7、ngjiajiao.com10年专注，8万上海家长首选朗朗家教网！http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教　　　　　　　　　　　　　　解析：与关于直线对称，连结，则。连结,在中，，，则　　故的最小值为例2　（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。根据、、三

8、点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。设直线解析式为：。把、代入得，。当时，，则2.两个定点+两个动点。http://www.langlangjiajiao.com10年专注，8万上海家长首选朗朗家教网！http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例3　如图4，河岸两侧有、两个

9、村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形为平行四边形，，此时值最小。那么来往、两村最短路程为：。例4　(2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求

10、点，的坐标。解析：作点关于轴的对称点，则，。（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。由可知，那么，则。（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。http://www.langlangjiajiao.com10年专注，8万上海家长首选朗朗家教网！http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。此时值最小，则四边形的周长最小。由

11、、可求直线解析式为，当时，，即，则。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）　　　　　　　　（二）“

12、动定

13、+

14、动动

15、”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例5　（2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为4。　http:/

16、/www.langlangjiajiao.com10年专注，8万上海家长首选朗朗家教网！http://www.langlangjiajiao.com/jy-c517/交大家教解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，，，当时，最小。作于，交于，∵，∴作交于，例6　如图7，四边形是等腰梯