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1、动点最值问题解法探析一-问题原型:（人教版八年级上册第42页探究）女图1・1,要在燃气管道？上修建一个泵站，分别向4、&两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：Edl-ZPA+PB>AB（P在线段40上时取等号）（如图1-2）El14线段和最小，常见有三种类型：（一）“I定动1+1定动I”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个
2、定点屮的其屮一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1•两个定点+—个动点。如图1-3,作一定点E关于动点C所在直线2的对称点百，线段（B是另一定点）与2的交点即为距离和最小时动点C位置，最小距离和二A（B。例1（2006年河南省中考题）女酹2,正方形ABCD的边长为2,E是BC的屮点，P是对角线月C上一动点，则PB+PE的最小值是EC图2解析：E与D关于直线占C对称，连结DP,则PD=PBQCE=-BC=连结DE,在Rtl^DCE屮，DC=2,2，则DE=ylDC求这条抛物线的
3、函数表达式；已知在对称轴上存在一点卩，使得'PBC的周长最小，请求出点尸的坐标。解析：(1)对称轴为兀=一1,上(一30),由对称性可知：$(1,0)。根据4、B、C2「4y=—x+—x-2三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：33(2)4与B关于对称轴x=-l对称，连结HU,与对称轴交点即为所求戸点。=厶_2设直线月C解析式为：y=kx+bo把卫(一3,0)、C(0-2)代入得，》一「。+EC2=722+12=躬:.PB+PE=PD+PEXDE=£故PB+PE的最小值为厉例2(2009年济南市中考题)如图3,已知：抛物线y=ax+肚+c@H0)的对称轴为兀=一1,与x轴
4、交于上、B两点,与轴V交于点C,其中丄(一30),C(0-2)o2•两个定点+两个动点。两动点，其屮一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型來解。例3如图4,河岸两侧有4、£两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥,桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为必、N,那么N点随必点而动，测等于河宽，且测垂直于河岸。将B向上平移河宽长到线段卫&与河北岸线的交点即为桥端M点位置。四边形BB'MN为平行四边形，B'M=BN，此时AM+BN=AM+=AB（最小。那么来往卫、
5、£两村最短路程为：=AB^MNQ例4（2010年天津市中考）在平面角坐标系中，矩形Q4BC的顶点O在坐标原点，顶点卫、B分别在x轴、》轴的正半轴上，OA=3,OB=4f。为边OE的中点。（1）若E为边少上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若尺为边。虫上的两个动点，且EF=2,当四边形CD防的周长最小时，求点E,月的坐标。ODf=OD=解析：作点D关于x轴的对称点则0BTD0—2)（1）磁CD交x轴于点磁DE,亚时bCDE的周长最小。由D9EsbDBCOEDO“BCxDfO3x2.可知BC"DfB,那么一一6一，则盪（1，0）。（2）将C向左平移2个单位
6、（2F=2）到旷点，定点D、C分別到动点E、尺的距离和等于为定点D、L到动点E的距离和，即DE+CF=DE+CE°从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在BC上截取g=EF=2,连接DC'交x轴于E,四边形EFCC'为平行四边形,CfS=CF。此时DE+CF=D'E+CE=DC值最小，则四边形CDEF的周长最小。由0X0-2）、UQ4）可求直线D0解析式为》=么-2,当八0时,7则"評。（也可以用（1）中相似的方法求E坐标）（二）“I动定1+1动动I”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使
7、一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点Z间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段屮，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例5（2009年陕西省中考）如图6,在锐角AA5C屮，AB=2^2,ABAC=45°,ZB4C的平分线交EC于点D,M、"分别是和AB±的动点，则的最小值为4。c解析：角平分线所在直线是角的对称轴，AB上动点“关于ND的对称点"「在4C上,MN=MN1,MB^-MN=,当丄时，最小。作丄AC于N‘，交40于M
