初中数学动点最值问题解法探析.docx

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1、精选文档可编辑精选文档初中数学动点最值问题解法探析一、问题原型:(人教版八年级上册第42页探究)如图1-1,要在燃气管道上上修建一个泵站,分别向工、3两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?这个“确定最短路线”问题,是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法:对称共线法。利用轴对称变换,将线路中各线段映射到同一直线上(线路长度不变),确定动点位置,计算线路最短长度。三、一般结论.二㈠在线段从任上时取等号)(如图1-2)圜1*1线段和最小,常见有三种类型:(一)“

2、定动

3、+

4、定动

5、”型:两定点到一动点的距离和最小通过轴对称,将动点所在直线同侧的两

6、个定点中的其中一个,映射到直线的另一侧,当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时,由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值,最小值为定点线段的长。可编辑精选文档1.两个定点+一个动点。如图1-3,作一定点工关于动点所在直线’的对称点,线段人田(3是另一定点)与?的交点即为距离和最小时动点U位置,最小距离和二A'E。例1(2006年河南省中考题)如图2,正方形的边长为2,总是EC的中点,F是对角线上。上-动点,则F£+F且的最小值是。图2解析:3与白关于直线对称,连结DP,则尸口二。CS=-BC=连结口豆,在&心qCg中,DC二2,之,则酬=也,+『=后P*+pe=「口+P

7、**口E^PB+PE的最小值为n号例2(2009年济南市中考题)如图3,已知:抛物线‘="Lg'U)的对称轴为xT,与工轴交于乂、刀两点,与轴》交于点°,其中让双,。(1)求这条抛物线的函数表达式;(2)已知在对称轴上存在一点F,使得丛尸鼻1的周长最小,请求出点P的坐标。解析:(1)对称轴为式7,4TO)由对称性可知:讥L。)。根据乂、刀、c可编辑精选文档2「oy——k十一工一2三点坐标,利用待定系数法,可求得抛物线为:‘;二(2)乂与F关于对称轴人=-1对称,连结AC,AC与对称轴交点即为所求P点。=_2^_2设直线工仃解析式为:》=上工+屋把上(-犯、C&-2)代入得,,3

8、024c.4“一尸-1)一2「^(-1--)当X=一]时,]],则§2.两个定点+两个动点。两动点,其中一个随另一个动(一个主动,一个从动),并且两动点间的距离保持不变。用平移方法,可把两动点变成一个动点,转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例3如图4,河岸两侧有且、S两个村庄,为了村民出行方便,计划在河上修一座桥,桥修在何处才能两村村民来往路程最短?解析:设桥端两动点为M、,那么点随加r点而动,汹,等于河宽,且力回垂直于河岸。将夕向上平移河宽长到S',线段AB1与河北岸线的交点即为桥端越点位置。四边形岫力尔为平行四边形,夕川二团此时4W+2R二工小r+⑶"二』岁值最小。那么

9、来往为、m两村最短路程为:上M+顺+涵=的+M/。例4(2010年天津市中考)在平面角坐标系中,矩形0A^C的顶点口在坐标原点,顶点43分别在K轴、尸轴的正半轴上,必=3,0B=4,□为边08的中点。(1)若总为边Q4上的一个动点,当kCDE的周长最小时,求点&的坐标;可编辑精选文档(2)若因,F为边。且上的两个动点,且封=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点£,严的坐标。QBQ口,—0£}-—2解析:作点A关于R轴的对称点。,则之,。(1)连接交界轴于点E,连接上,此时ASS的周长最小。由人皿肥0E…BCxDr03x2、可知耻。宓,那么一,6,则颐1叽(2)将口向左平移2个

10、单位(E尸=2)到C"点,定点D、°分别到动点区、F的距离和等于为定点口、到动点下的距离和,即DE+UF-UE。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在5c上截取CC=EF=2连接DC,交界轴于包,四边形EFCC为平行四边形,C'E二CF。此时DE^CF二口任+C任=。七"值最小,则四边形SEF的周长最小。X=15,(10]由CQ4)可求直线g解析式为”22,当”。时,3,即%;吗⑼E则二。(也可以用(1)中相似的方法求直坐标)可编辑精选文档(二)“

11、动定

12、+

13、动动

14、”型:两动点分别在两条直线上独立运动,一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利

15、用轴对称变换,使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上(两点之间线段最短),且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线(连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短)时,两线段和最小,最小值等于这条垂线段的长。例5(2009年陕西省中考)如图6,在锐角中,用3=2近,/员4c=45口,/斯。的平分线交3c于点D,好、却分别是川D和上8上的动点,则加原一&®的最小值为4。可编辑精选文档解析:角平分线所在直线是角的对称轴,次以上动点*关于幺白的对称点R'在1e上,*呼=M+当如「C时,皈最小

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