与整数有关的最值问题的求法

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1、与整数有关的最值问题的求法我们知道，与整数有关的问题常出现在各级数学竞赛试题中，这类问题思考性强，作答有一定的技巧性，学生不易把握。为此，本文就典型的最值问题谈及十一种办法，以窥见一斑。一、配对例1.求不超过的值的最大整数。解：设，则，，。二、进退例2.求与最接近的整数。解：因为所以。故与S最接近的整数为2004。三、局部调整例3.设是从1到9的互不相同的整数，则的最大的可能值是多少？解：设。先固定b，c让a变动，当最大。再固定c，让b变动，当最大。此时当最大。故取为最大值。四、抽屉原理4例4.在1，2，…100个数中，任取k个数，使得这k个数中，总有两个数字之和等于另外两个不同数字之和。求满

2、足条件的最小的k的值。解：注意到在1，2，…，100中，任意两个不同数字之和最小为3，最大为199，共有197个不同的值。任取k个数，每个数都可与其余的个数组成不同的和，这样k个数共可组成个和。当时，由抽屉原理，至少有两组不同数字之和相等。注意到，得。五、分类讨论例5.已知不等式的正整数解为1，2，3，试求a的最小值。解：当，故其解的正整数不止1，2，3，不合题意；当时，亦不合题意；当，当且仅当即，适合题意，故。六、利用整数性质例6.设是正整数，且满足，求y的最大值。解：由，得。得，即。故当。七、利用三角形三边长关系例7.已知三角形三边长均为整数，其中某两条边长之差为5。若此三角形周长为奇数，

3、求第三边长的最小值。解：设三角形三边长为，由得，取。此时满足（奇数），且。故第三边长的最小值为6。4八、因数分解例8.已知，并且二次方程的根都是整数，求其最大的根。解：设二整数根为，则，即∴得故最大的根为98。例9.已知99个连续自然数之和等于abcd，若a，b，c，d均为质数，求a+b+c+d的最小值。解：设不妨取，则。故当时，。九、各个击破例10.设为自然数，且，求的最大值。解：由已知有，所以。因此，则，得，同理。十、间接求解例11.不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？解：从能写成两个奇合数之和的偶数着手。当个位数为0时，有0，10，20，30，40，…，此时30=15+15，40=1

4、5+25，…，故30以上个位数为0的偶数不合题意。当个位数为2时，4有2，12，22，32，42，52，…，此时42=27+15，52=27+25，…，故42以上个位数为2的偶数不合题意。同理24，36，48，以上个位数分别为4，6，8的偶数不合题意。故适合题意的最大偶数为38。十一、整体求解例12.已知数都只能取+1或－1两个不同值，求：的最大值。解：原式每一项都只能是+1或－1，故该值为偶数，因此最大值最多为6。当原式为6时，都应为+1；都应为－1。此时它们之积分别为＋1和－1。这与它们之积相等矛盾。但原式可以为4，例如，。故原式的最大值为4。年级初中学科数学版本期数内容标题　　与整数有关

5、的最值问题的求法分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与自学主题词　　与整数有关的最值问题的求法栏目名称学法指导供稿老师审稿老师录入蔡卫琴一校胡丹二校审核4