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1、第三章 微分中值定理与导数的应用1罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路；并由此初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法。2第一节中值定理一、费马引理第一节微分中值定理一、费马引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在点x0可导。如果对任意的有定义导数为零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点）。3不妨设证明：证毕4二、罗尔定理5R-Th
2、的几何意义：ABxy06证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，∴f(x)在[a,b]上必有最大值M及最小值m,有两种情况:(1)M=m;(2)M>m.(1)若M=m，则m=f(x)=M,f(x)为常数，即有那么(a,b)内任一点都可取作ξ，∴M=m时，定理必成立。7(2)若M>m，∴M,m中至少有一个不等于f(a)或f(b),不妨设M≠f(a),(设m≠f(a)同样可证）又设有f(ξ)=M,因此，对任意∵f(a)=f(b),有从而由费马引理可知证毕。89例1011例1213若f(x)在[0,1]上有二阶导数，且f(1)=0,设F(x)=x2f(x)，试证在（0,1）内至少存在一点ξ，使
3、例证：∵F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导(由题意),则由罗尔定理，又由罗尔定理，14三、拉格朗日定理L-Th的几何意义：可以看作是罗尔定理的推广15161718192021例：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明存在一点22由罗尔定理，存在证明：由条件知F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且23此类问题的关键是构造合理的辅助函数，可采用反向演绎的思维方式，多掌握一些函数的导数形式，如24例：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明存在一点2526例证：27例证明：分析：出现函数arctanx在[a,b]上的增量,可用L－定理证明。
4、由L—定理：令证：2829例证明恒等式证：则=0所以由前面的定理可知：在-10.试证分析：39所以如令对它们在[a,b]上应用柯西中值定理即可。请同学们自己完成证明过程。40第二节洛必达法则第二节洛必达法则现用C-Th来导出求这类极限的简便方法即:洛必达法则41424344例注:1,可见用洛必达法则求极限当分子分母都是次数较高的多项式时可避免繁硕的因式分解;2,用洛必达法
5、则求极限时每做一步都要查看一下是否还为不定型,若不是就不能用洛必达法则,否则会出错4546例4748例4950例5152但若用洛必达法则:极限不存在。此例说明洛必达法则不是万能的.53可见一味用洛必达法则，则永远无结果。所以洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。若用消去无穷因子法：54原定理只说存在等于A或∞，则显然后者极限不存在，此时洛必达法则不能用！但当不存在，则不能说此时需要用其它方法求极限。55作业作业P174页：3-2(A)1(单),2P175页：3-2(B)1(单),2,4,656可补充的例5758第三节泰勒公式第三节泰勒公式59泰勒(Taylor)(1685
6、—1731)英国数学家60不论在近似分析或理论分析中，我们总希望能用一个简单的函数近似地表达一个比较复杂的函数，而在函数中又以多项式较为简单。若能用多项式来近似表达一个函数会给研究带来很大方便。那么又怎样从函数本身找到我们所需要的多项式呢？61在微分应用中知，此式左端是一函数，而右端是x的一次多项式。即用一次多项式来近似代替函数。但这种表达式的精度不高，它所产生的误差仅是关于x-x0的高阶无穷小，且无法具体估计出误差的大小。为此，我们用满足一定要求的高次多项式来近似表达函数，并给出误差的计算公式。62来近似表达f(x).63首先，可定出系数：64为此，我们有Taylor中值定理：65展开
7、拉格朗日型余项。66余项Rn(x)又可写成：67这种形式的余项Rn(x)称为皮亚诺型余项。68称为麦克劳林公式。6970例(1)71727374观察这三条曲线在x=0附近的弥合程度：误差不超过则有xf(x)075同理可求得：7677我们已求得了一些函数的麦克劳林公式,我们还可以类似得到以下函数麦克劳林公式：78利用已知的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式，可以计算一些极限：79作业P184页：3-31,3,5,8(1)(3)80第四节函数
