中值定理与导数的应用.ppt

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1、xyAa0BCby=f(x)第三章中值定理与导数的应用第三章中值定理与导数的应用1.理解罗尔定理,拉格朗日中值定理的条件和结论,了解柯西中值定理.2.熟练掌握洛必塔法则,理解洛必塔法则应用的条件,并能熟练地用洛必塔法则求各种未定型极限.3.掌握用导数的符号研究函数的单调增(减)区间的方法.4.理解函数极值的概念,能熟练地求出函数的极值点和极值.5.能用导数研究曲线的凹向区间和拐点.6.了解函数作图的方法和步骤,会描绘简单函数的图形.7.理解函数最大值和最小值的概念,会求闭区间上连续函数的最大值和最小值.一、罗尔（Rolle）定理.罗尔定理:

2、若函数f(x)满足:(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b)则在(a,b)内至少有一点,使得f.第一节中值定理图3-1-1bACBax0y几何意义:若在两端点高度相同的连续曲线弧上,除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,那么在这曲线弧内部至少有一点,在该点处具有水平切线.由f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m(显然mM).(1)若m

3、),使f()=M,下面证明,f.证明：由f(x)在(a,b)内可导知f存在.而f0f+0由于f存在,所以,f(＝f+＝0即f.(2)特别m=M,这时f(x)=M对于xa,b,都有fx因此,可以取a,b内任意一点作为有f.在区间例1.验证罗尔定理对上的正确性.解:因为在上连续,在内可导,由罗尔定理知,至少存在一点使得f事实上,注：罗尔定理可作为f的根的存在性定理.例2设函数f(x)=(x1)(x2)(x3

4、),不求导数,试判断方程fx有几个实根,它们分别在何区间?解:f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)上可导,且f(1)=f(2);由罗尔定理:1,使f(1;同理,2,,注意到f(x)=0为二次方程,使f(2;它至多有两个实根,故1,2是f(x)=0的全部实根.f(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,例如:(i)y=f(x)=1,x=1,x[0,1)图3-1-2xy011f(x)在[-1,1]上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当x

5、时,f(x)=1.x时,f(x)=1.x=0时,f(0)不存在.(ii)0xy111图3-1-3y=

6、x

7、(iii)y=f(x)=x,x[1,2],f(x)在[1,2]上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f(x)=1.02112xy图3-1-4y=x二.拉格朗日(Lagrange)中值定理.拉格朗日中值定理:若函数f(x)满足(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(x)在(a,b)内可导.则在(a,b)内至少有一点,使等式f(b)f(a)=f()(ba).(1)成立

8、.图3-1-5xyAa0BCb几何意义:若连续曲线弧AB上,平行于弦AB.除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,那末在这曲线弧内至少有一点,在该点处的切线证:令(x)=f(x)L(x)显然:(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且ab,由罗尔定理,a,b,使().而(x)所以()=0由此得f()即f(b)f(a)=f()(ba).注:(1)式也可写成:(2)或f(a)f(b)=f()(ab).(3)若f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件,对于[a,b]

9、上任意两点x,x+△x,在[x,x+△x](或[x+△x,x])上,公式(1)也成立.△y=f(x+△x)f(x)=f()·△x.其中(x,x+△x)或(x+△x,x)记=x+△x(其中0<<1)有限增量公式:△y=f(x+△x)·△x(4)比较:f(x)在x处于可微：△ydy=f(x)·△x要求:

10、△x

11、很小，且f(x)0f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理条件：△y=f(x+△x)·△x要求:△x有限.如果函数f(x)在区间I上导数恒为零,那末f(x)在区间I上是一个常数.定理:(即f(x)C,x

12、If(x)xI.)<>证明:在区间I上任取两点x1,x2,不妨设x1