【下雨啦】高考数学专题复习三(数形结合思想).ppt

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1、第3讲数形结合思想1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略,它包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”.“以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解集.“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以“形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.2.数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复杂的问题简单化，抽

2、象的问题具体化，繁琐的问题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使问题得到解决.3.在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几个方面：（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础.（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势.“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.4.数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”.可见，

3、数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用.【例1】已知奇函数f(x)的定义域是{x

4、x≠0,x∈R}，且在(0,+∞）上单调递增，若f(1)=0,满足x·f(x)<0的x的取值范围是.分析函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x·f（x）<0表明自变量与函数值异号，故可作出f（x）的图象加以解决.解析作出符合条件的一个函数图象（草图即可），可知：x·f（x）<0的x取值范围是（-1，0）∪（0，1）.(-1，0)∪(0，1)探究拓展函数图象是函数对应关系的一种表现方式，它具有直观、形象、简明的特点.通过绘出函

5、数图象，依图象确定相关不等式的解集的方法，称作“图象法解不等式”.变式训练1（2009·徐州调研）设奇函数y=f(x)(x≠0),当x∈(0,+∞)时，f(x)=x-1，则不等式f(x-1)<0的解集是.解析常规方法是分x-1>0,x-1<0讨论，分别得到不等式，并解之.如果能根据已知条件作出y=f(x)的图象（奇函数图象关于原点对称），则可直观地得到f(x)<0的解为x<-1或0

6、x<0或1

7、=4(y≥0)其图象是半圆，在同一直角坐标系中，分别作出y=x的图象，如图所示，当0≤x≤2时，当2

8、x2-1

9、0).解设y1=

10、x2-1

11、,y2=ax(a>0).如图分别作出两个函数的图象，令y1=y2求出交点横坐标从图形不难看出当函数y2的图象位于y1图象上方时，对应的x的取值范围即为原不等式的解.∴原不等

12、式的解集为.【例3】关于x的方程上有2个不同的根，求实数a的取值范围及此两根之和.分析由于原式可化为解原方程可化为设在同一坐标系下作出两函数的图象，两图象交点的横坐标即为方程的解，如图所示.为有两个不同的根，应满足即依图象可以看出所以满足方程的a的取值范围是方程的两根之和为探究拓展超越方程（非初等方程）根的个数研究问题，往往转化为函数图象交点个数问题研究，但前提是要将图象画准确，这样，可以避免繁琐的计算（有时是不可能的计算）.本例中实质还运用了构造法.构造出了两个函数，将问题转化为研究何时函数值相等，何时图象有两个不同的交点,最后用运动变化的观点,分析出a的取值范围.变式训练3

13、设关于的方程在区间（0，2）内有相异的两个实根（1）求实数a的取值范围；（2）求的值.解DB【例4】已知圆C：(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任一点.（1）求的最大、最小值；（2）求x-2y的最大、最小值.分析（1）由容易联想到它的几何意义是点（x,y)与（1，2）所确定直线的斜率.（2）由x-2y可联想到“目标函数”，可视为动直线截距的最值问题.解（1）如图所示，设Q（1，2），由P（x,y），得的最大、最小值分别为过Q点的圆C的两条切线的斜率.将上式整理得kx-y+2-k=0