高考数学专题复习：数形结合思想教师用

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1、数形结合　　数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。　　具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的

2、讨论。　　选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：　　（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；　　（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；　　（3）函数图象的应用；　　（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；　　（5）解析几何、立体几何中的数形结合。2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原

3、则：　　（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；　　（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错；　　（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；　　　　二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变　　　　量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：　　（1）建立坐标系，引入

4、参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；　　（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；　　（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4．常见的“以形助数”的方法有：　　（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；　　（2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；　　（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予以重视。5．常见的把数作为手段的数形结合：

5、　　主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析类型一：利用数形结合思想解决函数问题例1：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（）(A)5(B)7(C)9(D)10解析：画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数（1）选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x)=lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9

6、个交点．例2：若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】原方程变形为即：设曲线y＝(x－2),x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

7、且，则a+2b的取值范围是　　A．　　　B．　　　C．　　　D．　　解析：画出的示意图.　　　　　　由题设有，　　　　　，　　　　　∴，　　　　　令，　　　　　则，　　　　　∵，∴.　　　　　∴在上是增函数.　　　　　∴.选C.举一反三：　　【变式1】已知函数在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。　　解析：∵，　　　　　∴抛物线的开口向下，对称轴是，如图所示：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）　　　　　　　（2）　　　　　　　（3）　　　　　（1）当a＜0时，如图（1）所示，　　　　　　　当x=0时，

8、y有最大值，即。　　　　　　　∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。　　　　　（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，　　　　　　　当x=a时，y有最大值，即。　　　　　　　∴a2―a+1=2，解得。　　　　　　　∵0≤a≤1，∴不合题意。　　　　　（3）当a＞1时，如图（3）所示。　　　　　　　当x=1时，y有最大值，即。∴a=2。　　　　　综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2