数系的扩充复数的概念和复数的几何意义.ppt

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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念Z计数的需要自然数（正整数与零）解方程x+3=1整数解方程3x=5有理数解方程x2=2实数可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。NQR复习回顾引入负整数引入分数引入无理数情境引入一元二次方程，有没有实数根？问题1：28-Jul-21历史再现1545年意大利有名的数学“怪杰”卡尔丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．1777年瑞士数学家欧拉

2、还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.直到1801年，德国数学家高斯系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世。28-Jul-21为了解决负数开平方问题，数学家引入一个新数i，把i叫做虚数单位，并且规定：(1)i21；(2)实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.问题解决:28-Jul-21问题2：把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，你得到什么样的数？i与a相加记作a+I;i与实数b相乘记作bi;规定0乘以i等于0;bi与实数a相加记作a+b

3、i28-Jul-21复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,实部虚部复数的代数形式：全体复数所形成的集合叫做复数集，通常用字母z表示.一般用字母C表示.知新28-Jul-21说出下列复数的实部和虚部？小试牛刀虚数实数复数z=a+bi(a∈R、b∈R)能表示实数和虚数？28-Jul-21对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时,叫做纯虚数;自主学习b=0a=0且b=0b≠0a=0且b≠028-Jul-21复数z=a+bi(a∈R

4、、b∈R)能表示实数和虚数问题3：如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?复数z=a+bi28-Jul-21你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？问题4：28-Jul-21a,b,c,d应满足什么条件呢？问题5：若复数28-Jul-21如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即▲思考知新若问题解决:若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。28-Jul-212-3i06i实部虚部分类虚数例1:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）2-3虚数00实数06纯虚　　数-10实数典例解析

5、28-Jul-21实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解：（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当，且，即时，复数z是纯虚数．例2：28-Jul-21实数的几何意义？在几何上，我们用什么来表示实数?实数可以用数轴上的点来表示.数轴上的点实数(数)一一对应(形)想一想类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？回忆…复数的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)实部虚部一个复数由什么确定？复数的几何意义oabz=a+biZ(a,b)xyaZ(a,b)z=a+biboxy教学重难点重点难点对复数

6、几何意义的理解以及复数的向量表示.由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数几何意义理解有一定困难.对于复数向量表示的掌握有一定困难.复数的几何意义（一）复数的实质是什么？探究任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z=a+bi有序实数对(a,b)唯一确定直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应可用下图表示出他们彼此的关系.aZ(a,b)z=a+biboxy那么现在复数z=a+bi可以在平面直角

7、坐标系中表示出来，如图所示：复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.建立了平面直角坐标系来表示复数的平面------复数平面(简称复平面)x轴------实轴y轴------虚轴注意观察实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，除原点外，因为原点表示实数0.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.练一练复平面内的原点(0,0)表示();实轴上的点(2,0)表示()；虚轴上的点(0,-1)表示();点(-2,3)表示().实数0实数2纯虚数-

8、i复数-2+3i新发现依照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.记住！由此可知，复数集C和复平面内所有的