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1、牛顿莱布尼兹两人同时创立了微积分导数及其应用3.1.1变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题的快慢程度．变化率问题第一次第二次0.62dm0.16dm问题一:气球膨胀率气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？思考在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,问题二:高台跳水计
2、算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.探究式子平均变化率的定义若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)则平均变化率为这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同理Δy=f(x2)-f(x1)ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2–x1=f(x1+Δx)–f(x1)Δx称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.思考?观察函数f(x)的
3、图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率例1、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]432.1例题讲解例2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化率。解△y=［5(2+△x)2+6］-(5×22+6)=20△x+5△x2所以平均变化率为例题讲解1.一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为（ ）A．－4B
4、．－8C．－6D．6C课堂练习2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量为（ ）A．f(x0+△x)B．f(x0)+△xC．f(x0)·△xD．f(x0+△x)－f(x0)D3.已知f(x)=2x2+1(1)求:其从x1到x2的平均变化率；(2)求:其从x0到x0+Δx的平均变化率，并求x0=1,Δx=时的平均变化率。（1）2(x1+x2)（2）4x0+2Δx5课堂练习小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:3.函数的平均变化率的几何意义：(1)求函数的
5、改变量：Δf；(2)计算平均变化率表示函数图象上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。在高台跳水中，函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto如何求ｔ＝2时的瞬时速度？2△ｔ＜0时2＋△ｔ△ｔ＞0时2＋△ｔ瞬时速度：物体在某一时刻的速度3.1.2导数的概念△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001
6、时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?瞬时速度（在局部）先求平均速度，然后取极限。⑴如何求瞬时速度？⑵lim是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?思考１、函数的平均变化率怎么表示？思考导数的定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,导数的作用：在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速
7、度；在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:注意：Δx可正也可负.一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.例题讲解例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.例题讲解例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平
8、均变化率，并求出在该点处的导数．例题讲解例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.例题讲解练习计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。这说明:在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。练习：小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(
