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1、瞬时速度与导数郭金梅教学目标：1．了解瞬时 速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念教学重点：教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。复习回顾1.函数的平均变化率2.函数平均变化率的几何意义过曲线上的点割线的斜率。导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:德国数学家Leibniz英国数学家Newton描述物质运动
2、的工具(从微观上研究函数)牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.数学史话莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数
3、法,并把它与中国的八卦联系起来.2)既然不能描述运动员的运动状态,那我们应该用什么来描述呢?1)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?思考?3)如何求运动员的瞬时速度?先引入一个变量Δt，计算从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度如我们要计算2秒时的瞬时速度△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,
4、△t=–0.000001,△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值–13.1.表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.2s时刻的瞬时速度思考1：运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?t0时刻的瞬时速度思考2：函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?定义:或,即称为函数y=f(x
5、)在x=x0处的导数,记作函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是注意如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f’(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作思考：求函数y=f(x)在点x0处导数的方法是什么？(1)求函数改变量△y=f（x0+△x）－f（x0）(2)求平均变化率(3)求极限例1：求函数在处的导数变式1：求函数在
6、处的导数变式2：求函数的导函数例1：求函数在处的导数例2.火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0解：火箭的运动方程为设t0时刻向上速度变为0，平均变化率为当时∴熄火后10.2s火箭向上的速度为0当时小结：1求物体运动的瞬时速度：(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度(3)求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率(3)求极限1求物体运动的瞬时速度：(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(
7、t)(2)求平均速度(3)求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率(3)求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率(3)求极限作业：10页A组：1B组：2巩固练习3.物体作自由落体运动,运动方程为：,其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.
