高中数学2-2-1椭圆及其标准方程.ppt

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1、了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．2.2.1椭圆及其标准方程2.2椭圆【课标要求】【核心扫描】利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)会求简单的与椭圆相关的轨迹问题．(难点)1．2．1．2．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__________________________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____，_______________叫做椭圆的焦距．想一想：在椭圆定义中，将“大于

2、F1F2

3、”改为“等于

4、F1F2

5、”或“小于

6、F1F2

7、”的

8、常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示当距离之和等于

9、F1F2

10、时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于

11、F1F2

12、时，动点的轨迹不存在．自学导引1．距离之和等于常数(大于

13、F1F2

14、)焦点两焦点间的距离椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程___________________________________焦点坐标_____________________________a，b，c的关系c2＝______(a＞b＞0)(a＞b＞0)(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a2－b22．试一试：已知椭圆的标准方程中a＝5，b＝4，则

15、椭圆的标准方程是什么？椭圆的定义的应用(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：

16、PF1

17、＋

18、PF2

19、＝2a(2a>

20、F1F2

21、)，在解题中经常将

22、PF1

23、·

24、PF2

25、看成一个整体或者配方等灵活运用．名师点睛1．椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆．(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是

26、看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.2．求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2、b2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为②确定未知量：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，解方程组，可得a、b的值，然后代入所设方程即可．3．题型一用待定系数法求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：

27、(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；【例1】[思路探索]对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)然后代入已知点求出A,B.规律方法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的

28、焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.【变式1】[思路探索]可先利用a，b，c三者关系求出

29、F1F2

30、，再利用定义及余弦定理求出

31、

32、PF1

33、·

34、PF2

35、，最后求出S△F1PF2.题型二椭圆定义的应用【例2】由余弦定理知：

36、PF1

37、2＋

38、PF2

39、2－2

40、PF1

41、·

42、PF2

43、·cos30°＝

44、F1F2

45、2＝(2c)2＝4②①式两边平方，得

46、PF1

47、2＋

48、PF2

49、2＋2

50、PF1

51、·

52、PF2

53、＝20③规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把

54、

55、PF1

56、·

57、PF2

58、看作一个整体来处理．解如图所示，