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1、年月宇航计测技术第卷第期标准偏差的几个计算公式及其应用周富臣‘‘文摘给出了计算标准偏差的理论式、常用估计式、无偏估计式、最大似然估计式、极差估计式和平均误差估计式并给出了各公式的使用条件。通过实例比较了各公式计算结果的差异。,计算,公式,比较,应主题词标准偏差用问题的提出标准偏差是正态分布的重要参数之一,它在误差理论、质量管理、计量抽样检验等领域中均得到广泛的应用。因此,标准偏差的计算十分重要。它的准确与否对测量不确定度评定。,,,以及所接收的产品质量等均有重要影响然而在对标准偏差的计算中不论测量次数多少,。,。有些人均按贝塞尔公式计算这显然是不妥当的这里
2、我们就此问题进行一些讨论几个计算标准偏差的公式。标准偏差的理论计算公式,,,,,。设对真值为的某量进行一组等权测量其测得值为⋯,令测得值与该量真值之占,则有差为真差占一一占一一氏一。一我们定义标准偏差也称标准差为二一二一顾一收稿日期‘,,。。洛阳第一拖拉机工程机械公司高级工程师一一,,,由于任何量的真值都是不可知的因此真差也就无法求得故式只有理论意义而无实用价值。。标准偏差的常用估计贝塞尔公式,—,由于真值是不可知的在实际应用中我们常用次测量的算术平均值刃无。,·,来代表真值理论上也证明随着测量次数的增多算术平均值最接近书卫鱼。,。,真值当一二时算术平均值
3、就是真值于是我们用测得值与算术平均值厂之差剩—余误差也叫残差来代替真差占一一,一乙,一通过数学推导可得真差占与剩余误差的关系为甲拼一一兰生甲乡’一洲洲将,上式代入式有工一。,宁“’一一洲式就是著名的贝塞尔公式。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当,,,。五一。。时可见贝塞尔公式与的定义式是一致的,,。,应该指出在为有限时用贝塞尔公式所得到的是标准偏差的一个估计值它不是。。,口。,。总体标准偏差因此我们称式为标准偏差的常用估计为了强调这一点我们将的‘”。,估计值用,表示于是将式改写为一,一一共女即,勺一仁兮在求时,为免去求算术平均值工的麻烦,经数学推
4、导有过程从略,,宝、一五’一群艺艺一,‘于是式可写为“、。“「艺“一,一宝,—气,、’。按式勺求时只需求出各测得值的平方和习升和各测得值之和的平方名即可一一。标准偏差的无偏估计数理统计中定义岁为样本方差合,,二、,“夕以‘一“—一洲护,护,数学上已经证明岁是总体方差的无偏估计即在大量重复试验中岁围绕散布它们之。‘,。,间没有系统误差而式在为有限时并不是总体标准偏差的无偏估计也就是说。,。。和之间存在系统误差对于服从正态分布的正态总体总体标准偏差的无偏估计值今为,、,一。宁、一“,击客厚普。,一、吸—艺誉乙‘、。,。,。。即和仅相差一个系数是与样本个数测量次
5、数有关的一个系数值见表计算。时用到,一,、一“今了万表。值刀。口,,。尺】一。“。“’。‘’。“‘。】’‘。“‘‘。,,,。,,,‘由表数据知当时、因此当时式和式之。,。,间的差异可略而不计在一一时最宜用贝塞尔公式求标准偏差当时由于。,,。值的影响已不可忽略宜用式’求标准偏差这时仍用贝塞尔公式显然是不妥的标准偏差的最大似然估计。,且当为有限时就将标准偏差的定义式中的真值用算术平均值工代替得到一一一厂“一。,。式适用于时的情况当时和伽一对计算结果的影响就很小了。标准偏差的无偏极差估计,,由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大不宜现场采用而极差估计的方法则有
6、运算简单、计算量小、宜于现场采用的特点。极差用表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的个样本即测得值中的最大值与最小值之差。,,,,⋯,乙,,,若对某量作次等权测量测得且它们服从正态分布则。一数学上给出用极差来估计总体标准偏差的计算公式为一丰。。,。称为标准偏差的无偏极差估计值为与样本个数城测量次数有关的无偏极差系数其值见表。表值成万‘·‘,‘·“】·。⋯⋯⋯·。⋯·一·连⋯“·⋯“·“一一“··⋯⋯⋯⋯““““⋯⋯⋯·””·。一““·‘”·‘⋯。“·‘”·”‘⋯男。“·吕“·“⋯⋯”·“”·竺。⋯叩“·“·了艺⋯“·“·”⋯”··。‘。。。“·吕·‘“,
7、“·“·,·,,八,刀从表看出当砚时、石丁因此更粗略的估计值为,一一万,,,还可以看出当镇燕时、因而“二〔,,,,这样利用式或式,’不需查表即可对标准偏差值作出快速粗略估计用以校核用贝塞尔等公式的计算是否有原则错误。,。,应指出式的准确度比其他几个公式的准确度要低但当镇镇时式不仅,,。,大大提高了计算速度而且还颇为准确能保证一定的准确度当时由于计算时舍,。,去的数据信息较多因而误差较大为了提高准确度这时应将测得的数据分成四个或五个,,,,⋯,,一组先求出各组的极差再由各组极差求出极差平均值天、。十一十⋯数理统计给出极差平均值灭和总体标准偏差的关系为二’一,
8、。,应指出此时的大小要用每组的数据个数去查表并且分组时一定要按测得
