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1、标准偏差数学表达式：?S—标准偏差（%)?n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于２0—30个?i-物料中某成分得各次测量值，1~n；标准偏差得使用方法［1］六个计算标准偏差得公式标准偏差得理论计算公式设对真值为Ｘ得某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l２、⋯⋯ｌｎ.令测得值ｌ与该量真值X之差为真差占σ,则有σ1=li-Xσ２=ｌ2-X⋯⋯σn＝lｎ-X我们定义标准偏差(也称标准差）σ为(1)由于真值Ｘ都就是不可知得,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ得常用估计—贝塞尔公式由于真值就是不
2、可知得,在实际应用中，我们常用n次测量得算术平均值来代表真值。理论上也证明，随着测量次数得增多，算术平均值最接近真值，当时,算术平均值就就是真值。于就是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）Ｖi来代替真差σ，即设一组等精度测量值为l1、l２、⋯⋯ln则⋯⋯通过数学推导可得真差σ与剩余误差V得关系为将上式代入式（１)有（2)式（2）就就是著名得贝塞尔公式（Bessel)。它用于有限次测量次数时标准偏差得计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ得定义式（1）就是完全一致得.应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到
3、得就是标准偏差σ得一个估计值.它不就是总体标准偏差σ。因此，我们称式(2）为标准偏差σ得常用估计。为了强调这一点,我们将σ得估计值用“S”表示。于就是，将式(2)改写为（2’）在求S时,为免去求算术平均值得麻烦,经数学推导（过程从略）有于就是，式(２’）可写为(2”)按式(2")求S时，只需求出各测得值得平方与与各测得值之与得平方艺,即可。标准偏差σ得无偏估计数理统计中定义Ｓ2为样本方差2就是总体方差σ2得无偏估计。即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布,它们数学上已经证明S之间没有系统误差.而式(２＇)在ｎ有限时，S并不就
4、是总体标准偏差σ得无偏估计,也就就是说Ｓ与σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们，对于服从正态分布得正态总体，总体标准偏差σ得无偏估计值为(3）令则即S1与S仅相差一个系数Kσ，Kσ就是与样本个数测量次数有关得一个系数，Kσ值见表.计算Kσ时用到Γ（n+１）＝ｎΓ（n）Γ（１)＝1由表1知,当ｎ>3０时,。因此,当n>3０时，式（３')与式（2’)之间得差异可略而不计。在n=3０~50时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差.当n〈10时，由于Ｋσ值得影响已不可忽略,宜用式(3'）,求标准偏差.这时再用贝塞尔公式显然就是不妥得。标准偏
5、差得最大似然估计将σ得定义式(1）中得真值Ｘ用算术平均值代替且当ｎ有限时就得到（4)式（4)适用于n〉50时得情况,当ｎ>５0时,ｎ与（n-1)对计算结果得影响就很小了.2、５标准偏差σ得极差估计由于以上几个标准偏差得计算公式计算量较大，不宜现场采用，而极差估计得方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用得特点。极差用＂R"表示。所谓极差就就是从正态总体中随机抽取得ｎ个样本测得值中得最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得l1、,且它们服从正态分布,则R=lmax-lmin概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差得计算公
6、式为（5)S3称为标准偏差σ得无偏极差估计，d2为与样本个数n（测得值个数)有关得无偏极差系数，其值见表2由表2知，当n≤1５时，，因此,标准偏差σ更粗略得估计值为（5'）还可以瞧出,当２０0≤ｎ≤10００时,因而又有（5"）显然，不需查表利用式(5')与（5”)了即可对标准偏差值作出快速估计，用以对用贝塞尔公式及其她公式得计算结果进行校核。应指出,式（5)得准确度比用其她公式得准确度要低，但当5≤n≤1５时,式(５）不仅大大提高了计算速度，而且还颇为准确。当ｎ>10时,由于舍去数据信息较多,因此误差较大，为了提高准确度，
7、这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组得极差R１、，再由各组极差求出极差平均值。极差平均值与总体标准偏差得关系为需指出，此时d2大小要用每组得数据个数n而不就是用数据总数N(=ｎＫ）去查表2。再则，分组时一定要按测得值得先后顺序排列,不能打乱或颠倒。标准偏差σ得平均误差估计平均误差得定义为误差理论给出(Ａ）可以证明与得关系为（证明从略）于就是（B）由式（A)与式（Ｂ)得从而有式（6)就就是佩特斯（C、A、Ｆ、Peteｒs、1856)公式。用该公式估计δ值,由于rｉｇｒｉght
8、不需平方,故计算较为简便。但该式得准确
9、度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。［1]标准偏差得应用实例对标称值Rａ=0、160μm
