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1、标准偏差出自MBA智库百科(http：//wiki。mbalib。com/) 数学表达式: ·S-标准偏差(%）·n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个·i—物料中某成分的各次测量值,1～n；标准偏差的使用方法 六个计算标准偏差的公式［1］标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为l1、l2、……ln。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有 σ1=li−X σ2=l2−X …… σn=ln−X 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 （1) 由于真值X都是不可
2、知的，因此真差σ占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值.标准偏差σ的常用估计-贝塞尔公式 由于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值来代表真值.理论上也证明，随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。 于是我们用测得值li与算术平均值之差--剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差σ，即 设一组等精度测量值为l1、l2、……ln 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 （2) 式（2)就是著名
3、的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此，我们称式（2）为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点,我们将σ的估计值用“S"表示。于是,将式(2)改写为 （2’） 在求S时，为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导（过程从略)有 于是，式(2')可写为 (2"） 按式(2”)求S时，只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺，即
4、可。标准偏差σ的无偏估计 数理统计中定义S2为样本方差 数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计.即在大量重复试验中，S2围绕σ2散布，它们之间没有系统误差。而式(2’）在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计值为 (3) 令 则 即S1和S仅相差一个系数Kσ，Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数，Kσ值见表。 计算Kσ时用到 Γ（n+1）=nΓ(n） Γ(1）=1 由表1知,当n>30时
5、,。因此,当n>30时，式(3’）和式(2’)之间的差异可略而不计。在n=30～50时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时,由于Kσ值的影响已不可忽略，宜用式(3')，求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计 将σ的定义式(1）中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到 （4) 式(4)适用于n〉50时的情况，当n〉50时，n和（n-1）对计算结果的影响就很小了。 2。5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用,而极差估计的方法则有运算简便,计算量
6、小宜于现场采用的特点。 极差用"R”表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。 若对某量作次等精度测量测得l1、,且它们服从正态分布，则 R=lmax−lmin 概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为 （5) S3称为标准偏差σ的无偏极差估计，d2为与样本个数n（测得值个数）有关的无偏极差系数,其值见表2 由表2知，当n≤15时，,因此,标准偏差σ更粗略的估计值为 （5’) 还可以看出，当200≤n≤1000时，因而又有 （5”） 显然,不需查
7、表利用式（5’）和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计，用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。 应指出，式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低,但当5≤n≤15时,式(5）不仅大大提高了计算速度,而且还颇为准确。当n〉10时,由于舍去数据信息较多,因此误差较大,为了提高准确度,这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组的极差R1、，再由各组极差求出极差平均值。 极差平均值和总体标准偏差的关系为 需指出,此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N（=nK)去查表2。再则，分组时一定要按测得值的先
8、后顺序排列，不能打乱或颠倒。标准偏差σ的平均误差估计 平均误差的定义为 误差理论给出 （A) 可以证明与的关系为 （证明从略） 于是 （B) 由式（A)和式（B）得 从而有 式(6）就是佩特斯
